适用于决策变量主观，难以定量的评价问题

1. 定义

多目标
定性与定量相结合

2. 应用

最佳方案的选取
评价类问题
指标体系的优选

3. 步骤

(1) 建立层次结构模型

最高层：决策的目的、要解决的问题
中间层：考虑的因素、决策的准则
最底层：决策时的备选方案

示例

(2) 构造成对比较矩阵

标度	Value
1	两因素具有同样重要性
3	一个因素比另一个因素稍微重要
5	一个因素比另一个因素明显重要
7	一个因素比另一个因素强烈重要
9	一个因素比另一个因素极端重要
2,4,6,8	重要性位于两程度之间
倒数	变成同样程度的不重要

• 对于一致阵：
  存在唯一非零特征根n（矩阵的阶数）
  n所对应的特征向量归一化后即可作为权向量

定理：n阶一致阵的唯一非零特征根为n

• 对于非一致阵：
  选用最大特征根$\lambda$的特征向量，经归一化后作为权向量$\omega$

定理：非一致阵的最大特征根$\lambda >n$

(3) 层次单排序及其一致性检验

根据成对比较矩阵算出最大特征根 $\lambda$

① 一致性指标
$$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}$$

• $CI=0$，有完全的一致性
• $CI\to 0$，有满意的一致性
• $CI$越大，不一致越严重

② 随机一致性指标$RI$

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

③ 一致性比率$CR$
$$CR=\frac{CI}{RI}$$
若$CR<0.1$，则通过一致性检验；
若未通过检验，则需要重新构造成对比较矩阵A

根据特征根求出特征向量，并进行归一化处理，得到单层次排序。

(4) 层次总排序及其一致性检验

计算某一层所有因素对于最高层相对重要性的权值。

$$CR=\frac{a_{1}C{I}_1+a_{2}C{I}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{m}C{I}_m}{a_{1}R{I}_2+a_{2}R{I}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{m}R{I}_m}$$

• $C{I}_1$：最底层对中间层中因素的层次单排序的一致性指标。
• $R{I}_1$：最底层对中间层中因素的层次单排序的随机一致性指标。
• $a_i$：中间层对目标层的单层次排序

若$CR<0.1$，则通过检验；

只有通过检验后才可进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造成对比较矩阵。

求出最低层对中间层各因素的权向量，再求出各因素对目标的权向量，列表如下

对各方案求出一个量化值，比较大小，进行评价

4. 模型评价

(1) 优点

• 系统性

• 实用性
  定性与定量相结合
  无需大量数据
  两两比较

• 简洁性

(2) 缺点

• 主观性。需要大量分析，确定成对比较矩阵。
• 不能给出新的方案，只能从原来的方案中选取最优的方案

代码示例

%主函数


clear;clc;
A=[1 5 4 3; 
    0.2 1 0.5 0.25;
    0.25 2 1 0.33;
    0.33 4 3 1];


B1 = [1,3,5,3,3,3,5,5,5;0.330000000000000,1,3,1,1,1,3,3,3;0.200000000000000,0.330000000000000,1,1,1,1,3,3,3;0.330000000000000,1,1,1,1,1,3,3,3;0.330000000000000,1,1,1,1,1,3,3,3;0.330000000000000,1,1,1,1,1,3,3,3;0.200000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,1,1,1;0.200000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,1,1,1;0.200000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,1,1,1];
B2 = [1,1,3,1,5,3,5,3,7;1,1,3,1,5,3,5,3,7;0.330000000000000,0.330000000000000,1,0.330000000000000,3,1,3,1,5;1,1,3,1,5,3,5,3,7;0.200000000000000,0.200000000000000,0.330000000000000,0.200000000000000,1,0.330000000000000,1,0.330000000000000,3;0.330000000000000,0.330000000000000,1,0.330000000000000,3,1,3,1,5;0.200000000000000,0.200000000000000,0.330000000000000,0.200000000000000,1,0.330000000000000,1,0.330000000000000,3;0.330000000000000,0.330000000000000,1,0.330000000000000,3,1,3,1,5;0.140000000000000,0.140000000000000,0.200000000000000,0.140000000000000,0.330000000000000,0.200000000000000,0.330000000000000,0.200000000000000,1];
B3 = [1,1,1,1,1,1,1,1,1;1,1,1,1,1,1,1,1,1;1,1,1,1,1,1,1,1,1;1,1,1,1,1,1,1,1,1;1,1,1,1,1,1,1,1,1;1,1,1,1,1,1,1,1,1;1,1,1,1,1,1,1,1,1;1,1,1,1,1,1,1,1,1;1,1,1,1,1,1,1,1,1]; 
B4 = [1,1,3,5,3,7,5,1,5;1,1,3,5,3,7,5,1,5;0.330000000000000,0.330000000000000,1,5,3,7,3,0.330000000000000,3;0.200000000000000,0.200000000000000,0.200000000000000,1,0.330000000000000,3,0.330000000000000,0.200000000000000,0.330000000000000;0.330000000000000,0.330000000000000,0.330000000000000,3,1,5,1,0.200000000000000,1;0.140000000000000,0.140000000000000,0.140000000000000,0.330000000000000,0.200000000000000,1,0.200000000000000,0.140000000000000,0.200000000000000;0.200000000000000,0.200000000000000,0.330000000000000,3,1,5,1,0.330000000000000,1;1,1,3,5,5,7,3,1,5;0.200000000000000,0.200000000000000,0.330000000000000,3,1,5,1,0.200000000000000,1];

[W0, Lmax0, CI0, CR0] = AHP(A);

wei0 = quan(A);

[W1, Lmax1, CI1, CR1] = AHP(B1);
[W2, Lmax2, CI2, CR2] = AHP(B2);
[W3, Lmax3, CI3, CR3] = AHP(B3);
[W4, Lmax4, CI4, CR4] = AHP(B4);

wei1 = quan(B1);
wei2 = quan(B2);
wei3 = quan(B3);
wei4 = quan(B4);

CI = [CI1,CI2,CI3,CI4];
RI = [0.52,0.52,0.52,0.52];
CR = sum(W0.*CI)/sum(W0.*RI);

% 实现单层次结构的层次分析法

function [W, Lmax, CI, CR] = AHP(A)
% 输入: A为成对比较矩阵
% 输出: W为权重向量, Lmax为最大特征值, CI为一致性指标, CR为一致性比率
 
[V,D] = eig(A);
[Lmax,ind] = max(diag(D));       % 求最大特征值及其位置
W = V(:,ind) / sum(V(:,ind));    % 最大特征值对应的特征向量做标准化
Lmax = mean((A * W) ./ W);       % 计算最大特征值
n = size(A, 1);                  % 矩阵行数
CI = (Lmax - n) / (n - 1);       % 计算一致性指标
% Saaty随机一致性指标值
RI = [0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; 
CR = CI / RI(n);                 % 计算一致性比率

%求特征向量

function ret = quan(A)
[n,n]=size(A);

[V,D]=eig(A);%求得特征向量和特征值
            %求出最大特征值和它所对应的特征向量
tempNum=D(1,1);
pos=1;
for h=1:n
    if D(h,h)>tempNum
        tempNum=D(h,h);
        pos=h;
    end
end    
w=abs(V(:,pos));
w=w/sum(w);

ret = w;