点双连通分量

前言

由于点双和边双都是无向图里面的东西，所以下面的讲解都以图是无向图作为前提。

概念

割点： 对于一个连通图中的点 $x$，假如删去这个点以及与所有 $x$ 相连的边之后图不连通，那么称 $x$ 为该图的割点。

点双联通的： 对于一个无向图，假如仅仅对于该图而言其中不包含割点，那么称这个图是点双连通的。（和网上的不一样？别急，往下看）

点双连通分量： 对于一个无向图中的极大点双连通的子图，我们称这个子图为点双连通分量。

为了方便，下面简称点双连通分量为点双。

性质

1、 除了一种比较特殊的点双，其他的点双都满足：任意两点间都存在至少两条点不重复路径。

比较特殊的点双：

网上大部分以该性质作为点双的定义，然后说这种图虽然不满足定义，但是是一个特殊的点双。而上面那个更严谨的定义则可以将这种情况包含在内，更加完备。

2、 图中任意一个割点都在至少两个点双中。

因为删去割点后图会不连通，所以割点至少连接着图的两部分，而由于点双中不能有割点，所以这两部分肯定不在同一个点双中，所以割点至少存在于两个点双中。

再次提醒，点双联通的的定义是 仅仅对于该图而言 其中不包含割点，那么称这个图是点双连通的，也就是说，可以包含原图中的割点。

3、 任意一个不是割点的点都只存在于一个点双中。

这个很显然，不多解释。

找割点

设 $dfn[x]$ 表示遍历到 $x$ 之前遍历过多少个点，$low[x]$ 表示从 $x$ 出发在不经过父子边的情况下能到达的最早的祖先的 $dfn$ 值。

回看割点的定义：把这个点删除后图会不连通，那么肯定存在一些点，在不经过该割点的情况下无法到达割点的祖先，用这个性质来找就好了。

代码：

int dfn[maxn],low[maxn],id;
bool cut[maxn];
void dfs1(int x,int from)//from表示x与父亲之间的边的编号
{
	dfn[x]=low[x]=++id; int son=0;
	for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
	{
		int y=e[i].y;
		if(y==(from^1))continue;//不能通过反向边走回去
		if(!dfn[y])
		{
			dfs1(y,x); son++;
			if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];//更新low，假如y能走到更小的，那么x也能走到
			if(low[y]>=dfn[x])cut[x]=true;
			//假如儿子在不经过父子边的情况下不能到达x的祖先，那么x就是个点
		}
		else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];//假如走到了一个dfn更小的，那么更新low
	}
	if(fa==-1&&son==1)cut[x]=false;//特判出发点在一个环中的情况
}
void tarjan()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)//如果图不连通，那么每一个连通块都要跑一遍
	if(dfn[i]==0)dfs1(i,-1);
}

再说说那个特判，是用来处理这种情况的：

假如从红色节点出发，那么最后红色节点会被判定成割点，因为没有儿子能走到它的祖先，但是他压根就没有祖先啊，所以这时候，我们判一下，假如没有祖先，那么不能算割点，于是有了

fa==-1

这个判定条件。

但是

son==1

这个条件用来干啥？

我们注意到，出发点也有是割点的情况，比如：

如果从红色节点出发，而此时红色节点又刚好是割点，那怎么办呢？

这时候就要用到

son==1

这个限制了，因为如果起点是割点，那么 $son$ 肯定大于 $1$。

发现只有遍历到一个 $dfn[y]=0$ 的 $y$ 时，$son$ 才会 $+1$，所以 $son$ 的实际意义就是该点所连接的点双数量。

而根据上面的性质，假如 $son==1$，那么这个点肯定不是割点，否则一定是割点，所以在 $fa=-1$ 的同时我们还需要进行 $son=1$ 这样的判断。

那可能有人会问了，为什么其他的割点不用 $son=1$ 这样的方法来判呢？仔细想想，其他的点和出发点的区别就是：他们都有父亲。而遍历的时候是不能往回走的，也就是说，我们不知道父亲的状态，所以不能用 $son$ 来判。

找点双

这个时候就要请出伟大的 Tarjan 了！

我们依然考虑使用上面的 $dfn$ 和 $low$ 来求，我们将深搜时遇到的所有边加入到栈里面，当找到一个割点的时候，就将这个割点往下走到的所有边弹出，而这些边所连接的点就是一个点双了。

代码：

int dfn[maxn],low[maxn],id,t;
edge zhan[(maxn*maxn)<<1];//存边的栈
int belong[maxn],cnt;//belong记录每个点属于哪一个点双，cnt记录点双个数
bool cut[maxn];
set<int> s[maxn];//记录每个点双包含哪些点，如果题目不需要也可以不求
void dfs(int x,int from)
{
	dfn[x]=low[x]=++id; int son=0;
	for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
	{
		if(i==(from^1))continue;
		int y=e[i].y;
		if(!dfn[y])
		{
			zhan[++t]=e[i]; dfs(y,i); son++;//先压栈再遍历
			if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];
			if(low[y]>=dfn[x])//发现x是割点
			{
				cnt++; edge xx; cut[x]=true;
				do{
					xx=zhan[t--];//弹出
					belong[xx.x]=belong[xx.y]=cnt;//标记
					s[cnt].insert(xx.x);s[cnt].insert(xx.y);//记录
				}while(xx.x!=x||xx.y!=y);//假如已经弹到 x到y 这条边了，就停下来
			}
		}
		else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];
	}
	if(from==-1&&son==1)cut[x]=false;
}

附赠题表

Knights of the Round Table   题解
[HNOI2012]矿场搭建   题解
[ZJOI2004]嗅探器   题解

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边双连通分量

概念

割边： 假如删去这条边后图不连通，那么称这条边为割边。

边双联通的： 对于一个图，假如仅仅对于该图而言其中没有割边，那么我们称这个图是边双联通的。

性质

1、 割边不属于任意边双，而其它非割边的边都属于且仅属于一个边双。

2、 对于一个边双中的任意两个点，它们之间都有至少两条边不重复的路径。

找割边

和找割点类似，直接上代码：

int dfn[maxn],low[maxn],id;
bool cut[maxn];
void dfs(int x,int from)
{
    dfn[x]=low[x]=++id;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
    {
        if(i==(from^1))continue;
        int y=e[i].y;
        if(!dfn[y])
        {
            dfs(y,i);
            if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];
            if(low[y]>dfn[x])cut[i]=cut[i^1]=true;
            //注意这里是大于而不是大于等于，原因想想就明白了
        }
        else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];
    }
}

找边双

做法1

在请出Tarjan之前，我们先介绍另外一种做法：第一次 $dfs$ 找出割边，然后第二次 $dfs$ 在不经过割边的情况下遍历所有点，每一次遍历经过的一个子图就是一个边双。

做法2

用类似找点双的做法，但是栈里面压点，不压边。

代码：

int dfn[maxn],low[maxn],belong[maxn],id=0,cnt=0;
int zhan[maxn],t=0;
void dfs(int x,int from)
{
	dfn[x]=low[x]=++id;zhan[++t]=x;
	for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
	{
		if(i==(from^1))continue;
		int y=e[i].y;
		if(!dfn[y])
		{
			dfs(y,i);
			if(low[y]<low[x])low[x]=low[y];
		}
		else if(dfn[y]<low[x])low[x]=dfn[y];
	}
	if(dfn[x]==low[x])
	{
		cnt++; int xx;
		do{
			xx=zhan[t--];
			belong[xx]=cnt;
		}while(xx!=x);
	}
}

题表

Caocao’s Bridges   题解
[CERC2015]Juice Junctions   题解
[USACO06JAN]冗余路径Redundant Paths   题解

一点个人感想

对于什么时候用点双，什么时候用边双这个问题，个人感觉是，点双的性质其实比边双要好，因为边双里面允许有割点的存在，边双只强调点集内所有点能相互到达，但点双就有一些更好的性质，比如像吃掉一个点之后剩下的点之间还能相互到达。

当然这些都是乱吹的，建议不看跳过即可。