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频谱密度函数

$$F\left(\omega \right)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{F_n}{1/T}=\underset{T\to \infty }{\lim }{F}_n\cdot T=\underset{w\to 0}{\lim }\frac{F_n\cdot 2\pi }{w}$$
在这里$F_n$(指数型傅里叶级数的系数)是趋于无穷小的，$T$是趋于无穷大的，所以这两者相乘是一个常数。

傅里叶正变换

由上文的公式
$$F\left(\omega \right)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{F_n}{1/T}=\underset{T\to \infty }{\lim }{F}_n\cdot T=\underset{w\to 0}{\lim }\frac{F_n\cdot 2\pi }{w}$$
以及
$$F_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)e^{-jn\omega t}dt$$
将$F_n$代入$F\left(j\omega \right)={\lim }_{T\to \infty }{F}_n\cdot T$得

$$F\left(\omega \right)={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)e^{-jn\omega t}dt$$
因为傅里叶变换的情况是$T$趋于无穷，$\omega$趋于0，$n\omega$变成连续的了，所以傅里叶正变换公式就是

$$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$$

傅里叶逆变换

先看傅里叶级数的指数形式
$$f\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn\omega t}$$
为了凑出$F(\omega )$，我们要这样处理
$$f\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_{n}T{e}^{jn\omega t}\cdot \frac{1}{T}$$
我们令$T\to \infty$，则$\omega \to 0$，取其为$d\omega$，我们就可以将上式的$\frac{1}{T}$改为$\frac{2\pi }{T}\cdot \frac{1}{2\pi }$，$\omega$趋于0，$n\omega$变成连续的了，求和符号应变为积分符号，所以$f(t)$最后为

$$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
这就是傅里叶逆变换。

总结

傅里叶正变换

$$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$$

傅里叶逆变换

$$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$