C++实现链接: https://gitee.com/ghowoght/kd-tree

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在点云操作中，常常需要从大量点云中找到距离输入点最近的点，如果使用线性搜索，逐个判断与输入点的距离，那么搜寻耗时将会与点云规模呈线性上升趋势，时间复杂度为$O(N)$。显然这不是我们想看到的，在数据结构与算法中，对一维数据常用的搜索方法是二分查找，时间复杂度为$O(logN)$，它本质上是构建一棵二叉搜索树，以空间换取时间。而KD-Tree(K-Dimension Tree)，也就做K维树，则可以看做是二叉树在K维空间的扩展，它的搜索效率也能近似达到$O(logN)$。

二叉搜索树

首先看一下二叉搜索树。假设有如下的7个一维数据：
X = { 3   6   5   2   4   1   7 } X=\{3\ 6\ 5\ 2\ 4\ 1\ 7\} X={3 6 5 2 4 1 7}
使用递归的方式构建二叉树，python伪代码如下：

class Node:
    def __init__(self, value, left, right):
        self.value = value
        self.left  = left
        self.right = right
def make_tree(data):
    if len(data) == 0:
        return None
    sort(data) 			# 按照升序排列
    mid = len(data) / 2 # 取出中点
    node = Node(data[mid], 
      			make_tree(data[0 : mid - 1]),  			# 左子树
                make_tree(data[mid + 1 : len(data)])) 	# 右子树
    return node

使用该方式构建的二叉树如下：

二叉树的特点就是每一个节点左子树上所有节点都小于该节点，而右子树的所有节点都大于该节点。

如果用线性搜索从中找到距离输入数据最近的节点，那么要进行7次比较。但是用二叉树搜索的话，比较次数会大大减少。如果要搜索距离$y=2.1$最近的点，只需要先和$x=4$比较，由于$2.1<4$，进入左子树，此时最短距离为$d=4-2.1=1.9$；继续和$x=2$比较，由于$2.1>2$，进入右子树，此时最短距离$d=2.1-2=0.1$；最后和$x=3$比较，它与该节点的距离为$3-2.1=0.9$，大于上次比较的最短距离，所以距离$y=2.1$最近的节点为$x=2$。使用二叉树只需要比较3次就能找到最近节点，搜索的时间复杂度为$O(logN)$。

但是二叉搜索树仅仅是针对一维数据的搜索方法，没办法照搬到多维数据上，如果要应用到多维数据，就要进行一些改动，KD-Tree就可以看成将二叉树扩维到多维空间上的搜索树。

KD-Tree

KD-Tree被认为是二叉树在K维空间的扩展，其构建和搜索流程与二叉树基本一致，但都针对多维空间进行了相应的调整。

构建KD-Tree

对于一般的二叉树，它的节点只有一维特征，构建二叉树时只需要根据一维数据进行划分即可。对于多维数据，不能只根据某一维特征对整个数据集进行划分。KD-Tree的划分策略是交替地使用每一维特征进行划分。

假设有如下由七个二维数据组成的二维数据集：
X = { ( 3 , 7 ) , ( 2 , 6 ) , ( 0 , 5 ) , ( 1 , 8 ) , ( 7 , 5 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 7 ) } X=\{(3,7),(2,6),(0,5),(1,8),(7,5),(5,4),(6,7)\} X={(3,7),(2,6),(0,5),(1,8),(7,5),(5,4),(6,7)}
使用和二叉树相似的递归方法构建KD-Tree，python伪代码如下：

class Node:
    def __init__(self, value, left, right, split):
        self.value = value
        self.left  = left
        self.right = right
        self.split = split # 划分的维度
def make_tree(data):
    if len(data) == 0:
        return None
    sort(data, split) 			# 对指定维度按照升序排列
    mid = len(data) / 2 # 取出中点
    node = Node(data[mid], 
      			make_tree(data[0 : mid - 1]),  			# 左子树
                make_tree(data[mid + 1 : len(data)])) 	# 右子树
    			(split + 1) % dim # 交替使用各个维度进行划分
    return node

首先按照第1维特征进行划分(split)，过程与二叉树构建方法一致，划分完成后，第1维数据比根节点第1维数据大的节点被划分到根节点的右子树上，比根节点小的节点被划分到左子树上；继续进行递归，在左右子树分别按照第2维数据进行划分。

最后得到的二维KD-Tree如下，可以观察到每一个节点左子树上的节点在指定维度上的值都比该节点在相应维度上的值小，右子树则都要大。

当然这样不够直观，可以将该二维数据画在一个平面上：

原始数据分布	第一次划分：按照第1维特征(x轴特征)进行划分，选取$(3,7)$为根节点将整个点集划分为左右两部分(蓝色线为分界线)
第二次划分：按照第2维特征(y轴特征)进行划分，分别以$(2,6)$和$(2,6)$为根节点将左右两平面划分为上下两个平面(绿色线为分界线)	最终的KD-Tree结构，黄色线上的点是叶子节点

最近邻搜索

构建好KD-Tree后，要如何搜索给定点的最近邻呢？KD-Tree是通过一种二分搜索-回溯的方式来搜索最近邻的。首先使用类似于二分搜索的方式从根节点开始向下搜索，直到找到叶子节点，期间将访问过的节点都加入到一个栈(Stack)中，同时记录最短距离；找到叶子节点后开始回溯，依次从栈中弹出之前的访问过的节点，判断以待查询点为球心，当前最短距离为半径的超球面，与分割面是否有相交，如果相交则进入该节点的另一个分支，继续执行二分搜索，直到搜索到叶子节点，以此循环往复，直到超球面与分割面没有相交。

继续上面的二维KD-Tree例子。假设待查询点为$(5,5.5)$：

原始数据分布	二分查找，与根节点的第1维特征进行比较，由于$5>3$，因此进入右子树(红色部分)。计算与根节点的距离$dist=2.5$，作为当前最短距离
二分查找，与右半平面分割线上节点的第2维特征进行比较，由于$5.5>5$，因此进入该节点的右子树(橙色部分)。计算与$(7,5)$的距离$dist\approx 2.0616$，小于当前最短距离，因此更新当前最短距离	二分查找，计算与叶子节点$(6,7)$的距离$dist\approx 1.8028$，小于当前最短距离，因此更新当前最短距离。由于搜索到了叶子节点，接下来开始回溯
以待查询点为圆心，当前最短距离为半径作圆，与$(7,5)$所在的分割线相交，因此对节点$(7,5)$的另一子树进行搜索。	计算与叶子节点$(5,4)$在距离$dist=1.5$，小于当前最短距离，因此更新当前最短距离，继续进行回溯。由于以待查询点为圆心，当前最短距离为半径的圆与其他分割线无交点，因此认为节点$(5,4)$即为待查询点的最近邻，最短距离为$1.5$，搜索完毕

通过二分搜索-回溯机制，可以达到近似于二叉树搜索的效率。Python伪代码如下：

def get_nearest(point): # point: 待查询点
    nearest = root # 首先假定根节点为最近邻
    nearest_dist = get_dist(point, nearest.value) # 获取当前最近距离
    next = root		# 从根节点开始进行二分搜索
    near_nodes = [] # 用来保存访问过的节点
    serach_to_leaf(next, near_nodes) # 以二分搜索的方式搜索到叶子节点
    
    # 回溯
    while len(near_nodes) != 0:
        next = near_nodes[len(near_nodes) - 1]
        near_nodes.pop(len(near_nodes) - 1) # 从栈顶弹出一个节点
        # 判断以查询点为球心的超球面与分割面是否相交
        if abs(point[next.split] - next.value[next.split] < nearest_dist):
            # 相交则需要进入另一分支
            if point[next.split] <= next.value[next.split]:
                next = next.right
            else:
                next = next.left            
            # 对另一子树进行搜寻，直到找到叶子节点
            serach_to_leaf(next, near_nodes)
    
    return nearest.value # 搜索完毕，返回最近邻

测试

正确性测试：

1000000 points' building time is: 1.37681s
input         : 0.191662 0.487925 0.026111
----------- kdtree search -----------
The run time is: 5e-06 s
nearest: 0.187841 0.492951 0.0193923
----------- linear search -----------
The run time is: 0.032365 s
nearest: 0.187841 0.492951 0.0193923

耗时测试：

KD-Tree搜索耗时随数据规模的变化曲线	KD-Tree与线性搜索的处理耗时随数据规模的变化曲线

插入新节点

使用前述方法构建的KD-Tree实质上是一棵平衡树，这种平衡结构能使搜索效率提高至$O(logN)$。但是当数据集发送变化时，比如增加新节点或者删除节点时，很容易破坏这种平衡结构。想要保持平衡性，就需要重新调用一次构建函数，从头构建整个树结构，这虽然能保证平衡性，但是相当耗时。显然这是不可接受的，我们可以借鉴替罪羊树的思想来动态插入新节点，在快速插入新节点的同时保证一定的树结构平衡度，从而兼顾搜索效率和插入效率。

替罪羊树是一种自平衡树，但它不是严格意义上的平衡树，而是允许一定的失衡，失衡的程度用一个常数$\alpha$表示，一般选择$\alpha =0.7$。当 m a x { s i z e ( l e f t ) , s i z e ( r i g h t ) } > α ⋅ s i z e ( t h i s ) max\{size(left),size(right)\}>\alpha \cdot size(this) max{size(left),size(right)}>α⋅size(this)时，重建整个子树，被重建的子树的根节点就是“替罪羊”节点。虽然重构的代价较大，但是并不是每次插入新节点都会引发重构操作，所以使用这样一种代价较大但是次数较少的重构方式，平摊后插入新节点的时间复杂度为$O(logN)$。

在KD-Tree中，插入新节点也可以通过递归的方式完成，不过需要在每次插入新节点后判断子树有没有失衡，再进行重构操作。Python伪代码如下：

def insert(p): # p: 待插入点
    if root == None:
        root = Node(p, None, None, 0)
    else:
        insert(root, p)

def insert(node, p):
    node.count += 1
    split = node.split
    if p[split] <= node.value[split]:
        if node.left == None:
            node.left = Node(p, None, None, (split + 1) % dim)
        else:
            insert(node.left, p)
        if node.left.count > alpha * node.count:
            rebuild(node)
    else:
        if node.right == None:
            node.right = Node(p, None, None, (split + 1) % dim)
        else:
            insert(node.right, p)
        if node.right.count > alpha * node.count:
            rebuild(node)

def rebuild(node):
    points = []
    pre_order_traversal(node, points) # 先根遍历，把子树上的节点全找出来
    node = make_tree(points)
    
def pre_order_traversal(node, points):
    if node == None:
        return
    points.append(node.value)
    pre_order_traversal(node.left, points)
    pre_order_traversal(node.right, points)

以上就实现了KD-Tree的构建、搜索、增加节点操作，完整C++程序见：

https://gitee.com/ghowoght/kd-tree/blob/master/include/kdtree.hpp