曲线积分

参考自https://www.bilibili.com/video/BV11b411W7et

对弧长的曲线积分

也被称为第一类曲线积分（特点是对弧长积分没有方向）

对$f(x,y)$上的一段弧可以进行划分为若干段$\Delta S_i$，其中$f(x,y)$也可以理解为弧的一个性质，例如若$f(x,y)$表示线密度，在该条件下曲线积分则表示：弧长 × 线密度 = 曲型物体质量。

$$M=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^h\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta S_i={\int }_L\rho (x,y)ds$$

所以一个典型的积分定义式是这样的：

$${\int }_{L}f(x,y)ds$$

L是积分区域，也就是那段弧。（类比于一元积分，积分区域可以是x轴或y轴，二元积分的积分区域是一个二维区域）

对于这样一个积分

• $f(x,y)$是定义在$L$上的函数且有界
• L的分法任意
• 在每一段中$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法任意（取这一段的头、尾、中间什么的都行）
• 当$f(x,y)$恒等于1时，即${\int }_{L}1ds$其意义是求弧的长度
• 如下图的${\int }_{L}zds$表示的是其到$xOy$平面组成的面的面积

物理意义

质量$M$
$$M={\int }_{L}f(x,y)ds$$
质心$\overline{x}$和$\overline{y}$
$$\overline{x}=\frac{{\int }_{L}xf(x,y)ds}{{\int }_{L}f(x,y)ds}\overline{y}=\frac{{\int }_{L}yf(x,y)ds}{{\int }_{L}f(x,y)ds}$$
转动惯量
$$I_x={\int }_L=y^{2}f(x,y)ds{I}_y=\int x^{2}f(x,y)ds$$

性质

被积函数可加性

$${\int }_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha {\int }_{L}f(x,y)ds+\beta {\int }_{L}g(x,y)ds$$

积分区域可加性

$${\int }_{L_1+L_2}f(x,y)ds={\int }_{L_1}f(x,y)ds+{\int }_{L_2}f(x,y)ds$$

若$f(x,y)\le g(x,y)$对于$(\forall (x,y)\in L)$则有：

$${\int }_{L}f(x,y)ds\le {\int }_{L}g(x,y)ds$$

（类比于一元积分而二元积分）亦存在对称性，这个时候要看某个变量的奇偶性

其中绿色笔迹是对于L关于y轴对称的情况

计算技巧及例题

方法一：统一变量，例如y用x表示

1. 积分区域换方法表示 $L:y=y(x),a\le y\le b$
2. 被积函数换方法表示$f(x,y)\to f(x,y(x))$
3. 弧微分的改变 $ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx}{)}^2}dx=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

这样整个积分就有了这样的转化（曲线积分转化为定积分）

$${\int }_{L}f(x,y)={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

当然也可以是对y轴进行积分（假设$c\le y\le d$）

$${\int }_{L}f(x,y)={\int }_c^{d}f(x(y),y)\sqrt{1+(x^{\prime }(y){)}^2}dy$$

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例1：对于${\int }_L\sqrt{y}ds$其中$L$是$y=x^2$上$(0,0)$到$(1,1)$的一段弧，则有：

$${\int }_L\sqrt{y}={\int }_0^1\sqrt{x^2}\sqrt{1+(2x{)}^2}dx={\int }_0^{1}x\sqrt{1+4x^2}dx$$

拆根号要注意可能需要添加绝对值，由于这里的$x\in [0,1]$所以不用加，但是某些情况还是需要加一下的。

$${\int }_0^{1}x\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$$

或者对Y轴进行一个分的积，咱就是说由于$x=\sqrt{y}$，把这个带入得到

$${\int }_L\sqrt{y}={\int }_0^1\sqrt{y}\sqrt{1+\frac{1}{4y}}dy={\int }_0^1\sqrt{y+\frac{1}{4}}dy=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$$

由于被积函数没得$x$所以是不用改动的，加一下积分上下限替换一下$dx$就行

有必要注意的是${\int }_{L}f(x,y(x))$是一个形式，只是说这样的表示下，那里是一个与x有关的函数，并不真的是写个$f(x,y(x))$上去，比如说在本例里是${\int }_L\sqrt{y}$

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有没有一种可能，我是说，坐标是参数方程描述的。不过也没关系，对于

$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}x& =& x(t)\\ y& =& y(t)\end{array}{t}_1\le t\le t2$$
这样就有
$${\int }_{L}f(x,y)dx={\int }_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$$

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例2.1：计算$I={\int }_{L1}\sqrt{x^2+y^2}ds$其中$L_1:x^2+y^2=ax(y>0,a>0)$

这里积分区域可以转化为圆$(x-\frac{a}{2}{)}^2+y^2=\frac{a^2}{4}$的y轴上半部分，但是参数方程做起来会更方便

利用${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$得到

$$\{\begin{array}{r}x-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}\cos t\\ y=\frac{a}{2}\sin t\end{array}\to \{\begin{array}{r}x=\frac{a}{2}\cos t+\frac{a}{2}\\ y=\frac{a}{2}\sin t\end{array}(0\le t\le \pi )$$

依据上式将积分化为

$${\int }_{L1}={\int }_0^{\pi }\sqrt{(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cos t{)}^2+\frac{a^2}{4}{\sin }^{2}t}\cdot \sqrt{(-\frac{a}{2}\sin t{)}^2+(\frac{a}{2}\cos t{)}^2}dt$$

因而化简为

$${\int }_0^{\pi }\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}\cos t+\frac{a^2}{4}}\cdot \frac{a}{2}dt=a^2$$

例2.2：计算$I={\int }_{L2}\sqrt{x^2+y^2}ds$其中$L_1:x^2+y^2=ax(a>0)$

这玩意就是对称性，两倍上面的结果就是了。画图一眼看出来。$L_2$关于$x$轴对称且是偶函数。所以有：

$${\int }_{L_2}=2\int L_1$$

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例3

对于周长为$a$的椭圆$L:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$求$I={\oint }_L(2xy+3x^2+4y^2)ds$

首先这是一个封闭的曲线。先化简$I$得到

$$I=2\oint xyds+\oint (3x^2+4y^2)ds$$

对于该式由于第一部分的被积函数$xy$关于y是奇函数，并且$L$关于x轴对称，所以该部分和为0。接下来考虑第二部分

由椭圆定义可知$3x^2+4y^2=12$，即原式可写为

$$I=0+{\oint }_{L}12ds=12\oint 1ds=12\ast 周长=12a$$

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该性质可以推广到三维情况，即对于参数方程

$$\{\begin{array}{r}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}{t}_1\le t\le t_2$$
其曲线积分的公式是

$${\int }_{L}f(x,y,z)={\int }_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+(z^{\prime }{)}^2}dt$$