符号含义

例题

直接计算步骤得到H(s)

脉冲响应不变法

设计思路

1. 借助模拟滤波器设计方法设计滤波器的系统函数H(s)
2. 连续系统的系统函数H(s)用脉冲响应不变法转换成离散系统的系统函数H(z)

下面是巴特沃斯滤波器的幅频特性

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clc

fs=1000;%采样频率
fc=200;%通带截止频率
fr=300;%阻带截止频率
T=0.001; %采样周期


%%%%%%%脉冲响应不变法
wp1=2*pi*fc;%通带截止频率
wr1=2*pi*fr;%阻带截止频率

[N1,wn1]=buttord(wp1,wr1,1,25,'s'); %[滤波器的阶数,截止频率]=buttord(通带截止频率,阻带截止频率,通带波纹,阻带衰减,滤波器类型s-带阻)
[B1,A1]=butter(N1,wn1,'s'); %[传递函数系数B1是分子的 A1是分母的]=butter(滤波器的阶数,截止频率,滤波器类型s-带阻)
[num1,den1]=impinvar(B1,A1,fs); %利用脉冲响应不变法将模拟滤波器转数字滤波器[数字滤波器传递函数num1/den1]=impinvar(模拟的分子系数B1,模拟的分母系数A1,采样频率)
[h1,w]=freqz(num1,den1); %[频率响应,角频率]=freqz(数字滤波器传递函数num1/den1)

函数解读：

buttord [n，Wn] = buttord（Wp，Ws，Rp，Rs）返回数字巴特沃思滤波器的最低阶n，通带纹波不超过Rp dB，阻带衰减至少Rs dB。
Wp和Ws分别是滤波器的通带和阻带边沿频率，归一化为0到1，其中1对应于πrad / sample。
还返回相应的截止频率Wn的标量（或矢量）。
要设计巴特沃斯滤波器，请使用输出参数n和Wn作为butter的输入

butter butter（n，Wn）返回归一化截止频率Wn的n阶低通数字巴特沃斯滤波器的传递函数系数。

impinvar impinvar (B1,A1,fs)创建了一个分子系数和分母系数分别为B1和A1的数字滤波器，其脉冲响应等于系数为B1和A1的模拟滤波器的脉冲响应，按1/fs缩放，其中fs为采样率。

freqz [h,w] = freqz(d,n) 返回数字滤波器 d 的 n 点复频率响应。

双线性变换法

双线性变换法要对通带截止频率和阻带截止频率做一个预畸变处理

$\Omega =\frac{2}{T}\tan \frac{{\Omega }_{1}T}{2}=\frac{2}{T}\tan \frac{2\pi fT}{2}$

%%%%%%%双线性变换法
wp2=2*fs*tan(2*pi*fc/(2*fs)); %做预畸变处理后的通带截止频率
wr2=2*fs*tan(2*pi*fr/(2*fs)); %做预畸变处理后的阻带截止频率
[N2,wn2]=buttord(wp2,wr2,1,25,'s'); %[滤波器的阶数,截止频率]=buttord(通带截止频率,阻带截止频率,通带波纹,阻带衰减,滤波器类型s-带阻)
[B2,A2]=butter(N2,wn2,'s'); %[传递函数系数B2是分子的 A2是分母的]=butter(滤波器的阶数,截止频率,滤波器类型s-带阻)
[num2,den2]=bilinear(B2,A2,fs); %利用双线性的方法将模拟滤波器转数字滤波器[数字滤波器传递函数num2/den2]=impinvar(模拟的分子系数B2,模拟的分母系数A2,采样频率)
[h2,w]=freqz(num2,den2); %[频率响应,角频率]=freqz(数字滤波器传递函数num2/den2)
f=w/(2*pi)*fs; %将角频率转换为频率

画图

plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-'); %画脉冲响应不变法和双线性变换法的图
axis([0,500,-80,10]);% 设置当前坐标轴x轴和y轴的限制范围
grid; %切换改变主网格线的可见性
xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB');title('巴特沃思数字低通滤波器'); 
legend('脉冲响应不变法','双线性变换法');

完整代码

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fs=1000;%采样频率
fc=200;%通带截止频率
fr=300;%阻带截止频率
T=0.001; %采样周期


%%%%%%%脉冲响应不变法
wp1=2*pi*fc;%通带截止频率
wr1=2*pi*fr;%阻带截止频率

[N1,wn1]=buttord(wp1,wr1,1,25,'s'); %[滤波器的阶数,截止频率]=buttord(通带截止频率,阻带截止频率,通带波纹,阻带衰减,滤波器类型s-带阻)
[B1,A1]=butter(N1,wn1,'s'); %[传递函数系数B1是分子的 A1是分母的]=butter(滤波器的阶数,截止频率,滤波器类型s-带阻)
[num1,den1]=impinvar(B1,A1,fs); %利用脉冲响应不变法将模拟滤波器转数字滤波器[数字滤波器传递函数num1/den1]=impinvar(模拟的分子系数B1,模拟的分母系数A1,采样频率)
[h1,w]=freqz(num1,den1); %[频率响应,角频率]=freqz(数字滤波器传递函数num1/den1)

%%%%%%%双线性变换法
wp2=2*fs*tan(2*pi*fc/(2*fs)); %做预畸变处理后的通带截止频率
wr2=2*fs*tan(2*pi*fr/(2*fs)); %做预畸变处理后的阻带截止频率
[N2,wn2]=buttord(wp2,wr2,1,25,'s'); %[滤波器的阶数,截止频率]=buttord(通带截止频率,阻带截止频率,通带波纹,阻带衰减,滤波器类型s-带阻)
[B2,A2]=butter(N2,wn2,'s'); %[传递函数系数B2是分子的 A2是分母的]=butter(滤波器的阶数,截止频率,滤波器类型s-带阻)
[num2,den2]=bilinear(B2,A2,fs); %利用双线性的方法将模拟滤波器转数字滤波器[数字滤波器传递函数num2/den2]=impinvar(模拟的分子系数B2,模拟的分母系数A2,采样频率)
[h2,w]=freqz(num2,den2); %[频率响应,角频率]=freqz(数字滤波器传递函数num2/den2)
f=w/(2*pi)*fs; %将角频率转换为频率

plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-'); %画脉冲响应不变法和双线性变换法的图
axis([0,500,-80,10]);% 设置当前坐标轴x轴和y轴的限制范围
grid; %切换改变主网格线的可见性
xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB');title('巴特沃思数字低通滤波器'); 
legend('脉冲响应不变法','双线性变换法');