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一、算法步骤

给定一个n维单输入连续时间线性时不变受控系统$$\dot{x}=Ax+bu$$和一组任意的期望闭环特征值 { λ 1 ∗ , λ 2 ∗ , . . . , λ n ∗ } \{\lambda_1^*,\lambda_2^*,...,\lambda _n^* \} {λ1∗​,λ2∗​,...,λn∗​}，要来确定一个$1\times n$的状态反馈矩阵$K$。

极点配置中确定状态反馈矩阵$K$的算法如下：

Step1: 判断(A,b)能控性。若完全能控，进入下一步；若完全不能控，则不能进行所有极点配置
Step2: 计算矩阵$A$的特征多项式。有$$|sI-A|=\alpha (s)=s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+...+a_{1}s+a_0$$
Step3: 计算有期望闭环特征值 { λ 1 ∗ , λ 2 ∗ , . . . , λ n ∗ } \{\lambda_1^*,\lambda_2^*,...,\lambda _n^* \} {λ1∗​,λ2∗​,...,λn∗​}决定的特征多项式。有$${\alpha }^{\ast }(s)=\prod _{i=1}^n(s-{\lambda }_i^{\ast })=s^n+a_{n-1}^{\ast }{s}^{n-1}+...+a_1^{\ast }s+a_0^{\ast }$$
Step4: 计算$$K=[a_0^{\ast }-a_0,a_1^{\ast }-a_1,...,a_{n-1}^{\ast }-a_{n-1}]$$
Step5: 计算能控规范形变换矩阵$$T_p=[A^{n-1}b,A^{n-2}b,...,Ab,b]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& & 0\\ a_{n-1}& \ddots & \ddots & \\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ a_1& \cdots & a_{n-1}& 1\end{array}\right]$$
Step6: 计算$$Q=T_p^{-1}$$
Step7: 计算$K=\bar{K}Q$
Step8: 停止计算

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二、Matlab仿真

例： 给定单输入3维连续时间线性时不变受控系统为$$\bar{x}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& -6& 0\\ 0& 1& -12\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]u$$
期望闭环极点为${\lambda }_1^{\ast }=-2,{\lambda }_2^{\ast }=-1+j,{\lambda }_3^{\ast }=-1-j$,求满足极点配置要求的状态反馈矩阵$K$

程序代码：

clear all;
close all;
A=[0 0 0;1 -6 0;0 1 -12]
b=[1;0;0];
J=[-2,-1+1i,-1-1i];%期望闭环极点

%step1
M=ctrb(A,b)%求能控判别矩阵M
if rank(M)<length(A) %系统不完全能控
    disp('系统不完全能控')
else%系统完全能控
    %step2
    n=size(A,1);
    I=eye(size(A));  %单位矩阵I
    syms s
    F=det(s*I-A);    %求系统的特征多项式
    a=sym2poly(F);   %提取系统的特征多项式的系数向量
    %step3
    ae=poly(J);     %提取系统的期望特征多项式的系数
    %step4
    K_bar=ae(length(ae):-1:2)-a(length(a):-1:2);%计算K_bar
    %step5
    T1=fliplr(M);
    T2=zeros(n);
    for i=1:1:n      
        T2=T2+diag(a(i)*ones(1,n+1-i),1-i);
    end
    Tp=T1*T2;        %计算变换矩阵Tp
    %step6
    Q=inv(Tp);
    %step7
    K=sym(K_bar*Q) %得到状态反馈矩阵K
end

运行结果：

K =
 
[ -14, 186, -1220]

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MATLAB中也有直接求取状态反馈矩阵$K$的函数

函数	使用说明
K=acker(A,B,J)	A为状态矩阵，B为输入矩阵，J是由n个期望的闭环极点构成的向量

程序代码:

clear all;
close all;
A=[0 0 0;1 -6 0;0 1 -12]
b=[1;0;0];
J=[-2,-1+1i,-1-1i];%期望闭环极点

K=acker(A,b,J)

运行结果：

K =

         -14         186       -1220

和上一个程序运行的结果相同。