说实话，标题打上“矩阵论”三个字，着实有些丢人，这个问题只是线代的一些小知识，我在可逆矩阵的QR分解中，用到了这个小结论，想证明一下，有些无从下手，从网上参考了一些资料，才知道，最正确的方法还是用定义证明，最直观的方法还是用分块矩阵

1. 分块矩阵

(可逆)上三角矩阵可以写作：
$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right]$$
其逆可以写作：
$$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& -{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{C}{\mathbf{B}}^{-1}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{B}}^{-1}\end{array}\right]$$

顺便写一个，(可逆)下三角矩阵可以写作：
$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{B}\end{array}\right]$$
其逆可以写作：
$$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}& {\mathbf{B}}^{-1}\end{array}\right]$$

2. 定义证明

对于上三角矩阵
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \ast & \ast & a_{1n}\\ 0& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& a_{nn}\end{array}\right]$$
由$\mathbf{A}$ 可逆，则
$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ...& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ...& A_{n2}\\ ...& ...& ...& ...\\ A_{1n}& A_{2n}& ...& A_{nn}\end{array}\right]$$

由于$\mathbf{A}$是一个上三角矩阵，则${\mathbf{A}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}=0(\mathbf{i}<\mathbf{j})$, 也就是左下角的部分为0，这里可以手动画图感受一下

证毕

参考：

1. 下三角矩阵的逆矩阵_上三角或下三角矩阵的逆矩阵能否简便方法求出？？只有主副对角线不为0的矩阵能否直接写出逆矩阵。…

2. 怎么证明可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵书上提示说证明

3. 补充一句，上三角矩阵的乘积也是上三角矩阵