##逆矩阵的性质和求法

逆矩阵的性质

性质1: $A可逆\Rightarrow |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

性质2: $A可逆\Rightarrow A^{-1}可逆,(A^{-1}{)}^{-1}=A$

性质3: $AB=E(orBA=E)\Rightarrow B=A^{-1}$

性质4: $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

性质5: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}类似(AB{)}^T=B^T{A}^T$

性质6: $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}(k\ne 0,A可逆)$

逆矩阵的求法

方法一: 用$A^{\star }求A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\star }$

方法二: 初等变换法.

$A可逆\Rightarrow A^{-1}可逆,那么A^{-1}就是非奇异的,也就是说A逆最终可以转化为单位矩阵,那么反过来单位矩阵经过相反的初等变换就可以得到A^{-1}$

$(A⋮E)\to 行变换\to (E⋮A^{-1})$

只需要将A变成单位矩阵, 同时对E操作, 得到的矩阵就是A的逆矩阵.

练习1: 求$\left[\begin{array}{c}1-1-1\\ -321\\ 201\end{array}\right]的逆矩阵$

结果: $\left[\begin{array}{c}211\\ 532\\ -4-2-1\end{array}\right]$

练习1: 求$\left[\begin{array}{c}3-45\\ 2-31\\ 3-5-1\end{array}\right]的逆矩阵$

结果: $\left[\begin{array}{c}-829-11\\ -518-7\\ 1-31\end{array}\right]$