本节引入控制模型的复域模型——传递函数，并介绍其构建和使用方法。
本节介绍了几种常见环节的传递函数

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控制系统的复域数学模型是传递函数。拉普拉斯变换连接了时域与复域，因此我们使用拉氏变换来定义传递函数。

传递函数的定义

在零初始条件下，线性定常系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之比。
「传递函数并不局限于拉氏变换之比，其他线性变换算子之比也是可以的，比如时域的微分算子D、频域的算子$j\omega$，其对应的传递函数也就对应时域、频域。一般我们只讨论复域的传递函数」

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}$

传递函数的标准形式

将传递函数化成标准形式，有两个化法：

首1标准型

$G(s)=\frac{K^{\ast }\prod _{j=1}^m(s-z_j)}{\prod _{i=1}^n(s-p_i)}$
所谓首1，就是把每一个乘积项里面s的系数化为1。
首1标准型的系数K^*称为传递系数
称式中的$z_1,z_2\cdots z_m$为传递函数的零点，当$s=z_j(j=1,2,\cdots m)$时，$G(s)=0$
称式中的$p_1,p_2\cdots p_n$为传递函数的极点，使传递函数分母为零，$\underset{s\to p_j}{\lim }G(s)=\infty$
这个形式也叫做零极点形式
由于绘制根轨迹需要零极点分布，因此化成这种形式比较简单，所以系数K^*也称为根轨迹增益。关于根轨迹会在后面的章节讲解。

尾1标准型

$G(s)=K\frac{\prod _{k=1}^{m_1}({\tau }_{k}s+1)\prod _{l=1}^{m_2}({\tau }_l^2{s}^2+2\xi {\tau }_{l}s+1)}{s^v\prod _{i=1}^{n_1}(T_{i}s+1)\prod _{j=1}^{n_2}(T_j^2{s}^2+2\xi T_{j}s+1)}$
看起来尾1要复杂得多，说白了就是把每一个乘积项里面常数项化为1。这个形式也叫做时间常数形式。
尾1标准型的系数K称为增益
在绘制Bode图时需要比较参数项与1的大小来决定近似关系，因此化成这种形式比较简单。关于Bode图会在后面的章节讲解。

看下面这个例题：

一般来说我们按照直观可以先分解出乘积项，再根据乘积项每一个因子提出一个系数，得到首1或者尾1。

传递函数的性质

1. G(s)是复函数，是复变量s的有理分式
2. G(s)分子阶数$\le$分母阶数
3. G(s)只与系统自身的结构参数有关
4. G(s)与系统微分方程直接关联
5. G(s)=$\mathcal{L}[k(t)]$，传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换
6. g(s)=${\mathcal{L}}^{-1}$[G(s)]，传递函数的拉氏反变换是脉冲响应
7. G(s)与s平面上的零极点图相对应
   零极点分布图，在s平面内，用 $\circ$ 表示零点，用$\times$表示极点
   极点在复平面的分布决定了系统稳定性和过渡特性。零点不影响系统稳定性，但影响暂态特性。
   
8. 令分母多项式为零，则构成系统的特征方程，其解（极点）即为特征根，用${\lambda }_1、{\lambda }_2\dots$表示
   特征根对应的复位移称为模态，也就是$e^{{\lambda }_1}、e^{{\lambda }_2}$

来看一道综合性的例题：

传递函数的局限性

1. 对应零初始条件，原则上不反映非零初始条件时系统相应的全部信息
2. 适合描述单输入、单输出系统
3. 只能用于表示线性定常系统

典型环节的传递函数

环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类

比例环节
$G(s)=K$
典例：电位器

积分环节
$G(s)=\frac{K}{s}$
典例：液体储槽

微分环节
$G(s)=Ks$
典例：测速发电机
纯微分环节现实中是不可实现的

惯性环节
$G(s)=\frac{K}{\tau s+1}$
典例：RC电路

一阶复合微分环节
$G(s)=\tau s+1$
可以看作比例环节和微分环节并联

震荡环节
$G(s)=\frac{K}{{\tau }^2{s}^2+2\xi \tau s+1}$

二阶复合微分环节
$G(s)={\tau }^2{s}^2+2\xi \tau s+1$

对传递函数的解释：

1. 不同元部件可以有相同的传递函数
2. 选择不同的输入输出变量，同一个部件的传递函数可能不同
3. 任一传递函数都可以看作典型环节的组合