本节引入控制模型的复域模型——传递函数,并介绍其构建和使用方法。
本节介绍了几种常见环节的传递函数


控制系统的复域数学模型是传递函数。拉普拉斯变换连接了时域与复域,因此我们使用拉氏变换来定义传递函数。

传递函数的定义

零初始条件下,线性定常系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之比。
「传递函数并不局限于拉氏变换之比,其他线性变换算子之比也是可以的,比如时域的微分算子D、频域的算子 j ω j\omega ,其对应的传递函数也就对应时域、频域。一般我们只讨论复域的传递函数」

G ( s ) = C ( s ) R ( s ) G(s)=\frac{C(s)}{R(s)} G(s)=R(s)C(s)

传递函数的标准形式

在这里插入图片描述
将传递函数化成标准形式,有两个化法:

首1标准型

G ( s ) = K ∗ ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) G(s)=\frac{K^*\prod \limits_{j=1}^m(s-z_j)}{\prod \limits_{i=1}^n(s-p_i)} G(s)=i=1n(spi)Kj=1m(szj)
所谓首1,就是把每一个乘积项里面s的系数化为1。
首1标准型的系数K*称为传递系数
称式中的 z 1 , z 2 ⋯ z m z_1, z_2 \cdots z_m z1,z2zm为传递函数的零点,当 s = z j   ( j = 1 , 2 , ⋯ m ) s=z_j\ (j=1,2,\cdots m) s=zj (j=1,2,m)时, G ( s ) = 0 G(s)=0 G(s)=0
称式中的 p 1 , p 2 ⋯ p n p_1, p_2 \cdots p_n p1,p2pn为传递函数的极点,使传递函数分母为零, lim ⁡ s → p j G ( s ) = ∞ \lim \limits _{s\to p_j}G(s)=\infin spjlimG(s)=
这个形式也叫做零极点形式
由于绘制根轨迹需要零极点分布,因此化成这种形式比较简单,所以系数K*也称为根轨迹增益。关于根轨迹会在后面的章节讲解。

尾1标准型

G ( s ) = K ∏ k = 1 m 1 ( τ k s + 1 ) ∏ l = 1 m 2 ( τ l 2 s 2 + 2 ξ τ l s + 1 ) s v ∏ i = 1 n 1 ( T i s + 1 ) ∏ j = 1 n 2 ( T j 2 s 2 + 2 ξ T j s + 1 ) G(s)=K\frac{\prod \limits_{k=1}^{m_1}(\tau_ks+1) \prod \limits_{l=1}^{m_2}(\tau_l^2s^2+2\xi \tau_ls+1)}{s^v\prod \limits_{i=1}^{n_1}(T_is+1) \prod \limits_{j=1}^{n_2}(T_j^2s^2+2\xi T_js+1)} G(s)=Ksvi=1n1(Tis+1)j=1n2(Tj2s2+2ξTjs+1)k=1m1(τks+1)l=1m2(τl2s2+2ξτls+1)
看起来尾1要复杂得多,说白了就是把每一个乘积项里面常数项化为1。这个形式也叫做时间常数形式。
尾1标准型的系数K称为增益
在绘制Bode图时需要比较参数项与1的大小来决定近似关系,因此化成这种形式比较简单。关于Bode图会在后面的章节讲解。

看下面这个例题:
在这里插入图片描述
一般来说我们按照直观可以先分解出乘积项,再根据乘积项每一个因子提出一个系数,得到首1或者尾1。

传递函数的性质

  1. G(s)是复函数,是复变量s的有理分式
  2. G(s)分子阶数 ≤ \le 分母阶数
  3. G(s)只与系统自身的结构参数有关
  4. G(s)与系统微分方程直接关联
  5. G(s)= L [ k ( t ) ] \mathscr{L}[k(t)] L[k(t)],传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换
  6. g(s)= L − 1 \mathscr{L}^{-1} L1[G(s)],传递函数的拉氏反变换是脉冲响应
  7. G(s)与s平面上的零极点图相对应
    零极点分布图,在s平面内,用 ∘ \circ 表示零点,用 × \times ×表示极点
    极点在复平面的分布决定了系统稳定性和过渡特性。零点不影响系统稳定性,但影响暂态特性。
    在这里插入图片描述
  8. 令分母多项式为零,则构成系统的特征方程,其解(极点)即为特征根,用 λ 1 、 λ 2 … \lambda_1、\lambda_2… λ1λ2表示
    特征根对应的复位移称为模态,也就是 e λ 1 、 e λ 2 e^{\lambda_1}、e^{\lambda_2} eλ1eλ2

来看一道综合性的例题:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
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传递函数的局限性

  1. 对应零初始条件,原则上不反映非零初始条件时系统相应的全部信息
  2. 适合描述单输入、单输出系统
  3. 只能用于表示线性定常系统

典型环节的传递函数

环节:具有相同形式传递函数的元部件的分类

比例环节
G ( s ) = K G(s)=K G(s)=K
典例:电位器

积分环节
G ( s ) = K s G(s)=\frac{K}{s} G(s)=sK
典例:液体储槽

微分环节
G ( s ) = K s G(s)=Ks G(s)=Ks
典例:测速发电机
纯微分环节现实中是不可实现的

惯性环节
G ( s ) = K τ s + 1 G(s)=\frac{K}{\tau s+1} G(s)=τs+1K
典例:RC电路

一阶复合微分环节
G ( s ) = τ s + 1 G(s)=\tau s+1 G(s)=τs+1
可以看作比例环节和微分环节并联

震荡环节
G ( s ) = K τ 2 s 2 + 2 ξ τ s + 1 G(s)=\displaystyle \frac{K}{\tau^2s^2+2\xi \tau s+1} G(s)=τ2s2+2ξτs+1K

二阶复合微分环节
G ( s ) = τ 2 s 2 + 2 ξ τ s + 1 G(s)=\tau^2s^2+2\xi \tau s+1 G(s)=τ2s2+2ξτs+1

对传递函数的解释:

  1. 不同元部件可以有相同的传递函数
  2. 选择不同的输入输出变量,同一个部件的传递函数可能不同
  3. 任一传递函数都可以看作典型环节的组合
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