不允许缺货的存贮模型

问题背景

问题：配件厂为装配线生产若干种部件，所需的费用情况有以下几种：

1. 轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关，只要有生产，不管生产几个，都要付的费用）。
2. 同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。

现有情况：今已知某一部件的日需求量为100****件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。

前提条件：

1. 生产能力远大于需求（也就是不考虑供不应求的情况）。
2. 不允许出现缺货，

安排生产计划：多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少可使总费用最小。

问题分析

先试算一下，以便发现规律：

• 若每天生产一次，每次100件，无贮存费，生产准备费5000元，每天费用5000元；
• 若10天生产一次，每次1000件，贮存费是900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；
• 若50天生产一次，每次5000件，贮存费是4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元。

从上面的试算看出：生产周期短，产量小，贮存费小，准备费大；生产周期长、生产量多，会使贮存费大，准备费小。因此肯定存在一个最佳的周期，使得费用最小，显然，应该建立一个优化模型。

考虑这种不允许缺货的存贮模型的一般情况：产品需求稳定不变，生产准备费和生产贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货，确定生产周期和产量，使得总费用最小。

模型假设

为了处理方便，考虑连续模型，即设生产周期T和生产量Q均为连续量，根据问题性质做如下假设：

1. 产品每天的需求量为常数r；
2. 每次生产准备费为c₁,每天每件产品的贮存费为c₂；
3. 生产能力为无限大（相当于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。

模型建立

贮存量表示为时间t的函数q(t),
t=0生产Q件，贮存量q(0)=Q,
q(t)以需求速率r递减，直到q(T)=0,
如图1

显然有
$Q=rT$ ———————————— (1)

一个周期内的贮存费应该是$c_1{\sum }_{t=0}^{T}q(t)$ ，将周期看成连续的量，转化成积分形式：
其中积分恰等于图1中A的面积QT/2,因为一个周期的准备费是c₁，再注意到（1）式，得到一个周期的总费用是

模型求解

求T使(3)式的C最小，容易得到

结果解释

由(4)(5)式可以得到，当准备费c₁增加时，生产周期和产量都变大；当贮存费增加时生产周期和产量都变小；当需求量r增加时，生产周期变小而产量变大，这些定性结果符合常识，而定量关系只能由数学建模得到。

用得到的模型计算本节开始的问题：以c
₁=5000,c₂=1,r=100代入(4),(6)式，得T=10天，C=1000元。

这里得到的费用C与前面计算的950元有微小差别，由于我们把离散的模型连续化而产生的误差。

敏感性分析

讨论c₁,c₂,r有微小变化时对生产周期T的影响。
用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度，T对c₁的敏感度记作S(T,c₁)，定义为

允许缺货的存贮模型

模型假设

与上述问题假设均一致，假设第三点改变，现在假设为：

1. 产品每天的需求量为常数r；
2. 每次生产准备费为c₁,每天每件产品的贮存费为c₂；
3. 生产能力为无限大（相当于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费c₃，但缺货数量需要在下次生产（或订货）时间补足。

模型建立

因贮存量不足造成缺货时，可以认为贮存量函数q(t)为负值，如图2，周期仍记作T，Q是每周期初的贮存量，当t=T₁时q(t)=0,于是有：
在T₁到T这段缺货时段内需求率r不变，q(t)按原斜率继续下降，由于规定缺货量需补足，所以在t=T时数量为R的产品立即到达，使下周初的贮存量恢复到Q.

与建立不允许缺货模型时类似，一个周期内的贮存费是c₂乘以图2中三角形A的面积，缺货损失费是c₃乘以图2中三角形B的面积，计算这两块面积，并加上准备费c₁，得到一个周期的总费用为

模型求解

利用微分法求驻点

结果解释

c₃趋于∞时，也就是说缺货损失费是无穷大，那么商家就不会让其缺货，也就回到了上面的不允许缺货模型，因此可以将不允许取货模型看成是允许缺货模型的一个特例。