二次分配问题（QAP）是数学优化或运筹学分支中最基本的组合优化问题之一，从Koopmans和Beckmann [1]首次提出的设施选址问题的范畴来看。

该问题模拟了以下现实生活中的问题：

QAP问题可描述为：已知有n个位置和n家工厂，各位置之间的距离矩阵设为D=(dij)n*n ，各工厂之间的运输量矩阵为F=(fij)n*n 。现要将这n家工厂建造在这n个位置上，使得总费用最小。
设dij 表示位置i与位置j之间的距离，fij 位置i与位置j之间的费用。故工厂i建造在位置k且工厂j建造在位置l所导致的费用（物料等，与具体的问题相关）为dkl*fij

总费用最小”是dkl*fij

正式定义如下：

给定两组大小相等的P（“设施”）和L（“位置”），以及权重函数w：P×P→R和距离函数d：L×L→R。 ：P→L（“分配”），以使成本函数为：最小

矩阵表示：

其中是n*n个置换矩阵的集合，W是权重矩阵，D是距离矩阵。

该问题是NP-hard，因此没有已知的算法可以在多项式时间内解决此问题，即使是很小的实例也可能需要较长的计算时间。 也已经证明，除非P = NP，否则对于任何（恒定）因子，该问题都不会在多项式时间内运行近似算法。[2] 如果假设流仅沿单个环连接所有设施，并且所有流具有相同的非零（恒定）值，则旅行商问题可能被视为QAP的一种特殊情况。 标准组合优化问题的许多其他问题可以用这种形式编写。

我们怎么学习这个问题：参考网站

http://anjos.mgi.polymtl.ca/qaplib/

介绍

二次分配问题（QAP）仍然是组合优化中的重大挑战之一。解决大小适中的问题（例如大小n = 25）仍然被认为是一项计算上不重要的任务。 QAPLIB于1991年首次发布，目的是为QAP提供一个统一的测试平台，科学界可以使用。它实际上包含了当时作者可以访问的所有QAP实例。由于对这些实例的持续需求以及许多研究人员的强烈反馈，Burkard，Karisch和Rendl在1994年进行了重大更新。此更新也可以通过匿名ftp访问。此更新包括许多新问题实例，这些实例是由数名研究人员出于自己的测试目的而生成的。此外，还包括当前冠军的列表，即最知名的可行解决方案和最佳下限。
1996年4月的更新一方面反映了电子通信的重大变化。 QAPLIB成为万维网站点QAPLIB主页。另一方面，由于QAP的研究活动增多，因此有必要进行更新。其中包括有关QAP的近期论文的简短列表。

2000年6月的更新反映了QAP所取得的进展，特别是在解决新的测试实例和以前无法最佳解决的测试实例方面。它包括在QAP上工作的人员的最新列表以及在QAP上的调查和论文的最新列表。

2002年1月的更新反映了QAP上最近取得的进展。重点在于测试实例的最佳解决方案，而这些解决方案以前并没有达到最优。通过使用通常在功能非常强大的并行计算环境中实现的新的边界技术和新的分支和边界方案，可以获得最佳解决方案。此更新还包括新的测试实例，并对现有测试实例的最知名解决方案进行了一些改进。 QAP工作人员列表以及参考列表也已更新。

该网站将定期更新，我们希望在您的帮助下，QAPLIB主页将成为QAP的最新资源。我们感谢对QAPLIB的现有实例或新测试实例有更好的解决方案的任何暗示，以及对QAP上的最新文献提示的任何暗示。

致谢
QAPLIB主页由Stefan Karisch创建，并一直维护到1997年。从1997年到2002年7月，QAPLIB由ErandaÇela维护。我们感谢多年来为QAPLIB做出贡献的所有同事。对于1996年4月的更新，我们特别感谢Charles Fleurent，Michael Perregaard，Mauricio Resende和Eric Taillard向我们提供他们的数据和解决方案。对于2000年6月和2002年1月的更新，我们要特别感谢Kurt Anstreicher，Nathan Brixius，Jean-Pierre Goux，Peter Hahn和Jeffrey Linderoth为我们提供了他们的数据和解决方案。
该材料基于美国国家科学基金会在CMMI 0400155资助下的支持。

最新进展：

May 2018:

- Hans Mittelmann reports improvement of nineteen lower bounds utilizing the code BBCPOP by Naoki Ito, Sunyoung Kim, Masakazu Kojima, Akiko Takeda, and Kim-Chuan Toh. Sparse doubly-nonnegative relaxations are used for polynomial optimization problems such as the QAP. For details including full computational results, see http://plato.asu.edu/ftp/qaplib_bounds.html

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November 2017:

- Volodymyr Shylo reports a new record solution for tai100a with the objective of 21044752. This solution was found with RITSK (Repeated Iterated Tabu Search Kernel) using the multi-processor complex SKIT-4 at the Glushkov's Institute of Cybernetics (Kiev, Ukraine).
 

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6 August 2017:

- The reformulation technique "Non Diagonal Quadratic Convex Reformulation (NDQCR)" by Pörn, Nissfolk, Skjäl, and Westerlund, recently succeeded in improving the global lower bound for the Tai256c instance to a value of 44095032, which is only 1.48% below the value of the best known solution. NDQCR is generally created for solving zero-one quadratic programs. The QAP is one of the applications illustrated in the recent article on NDQCR.https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/acs.iecr.7b01270

Information about the Tai256c instance is found http://anjos.mgi.polymtl.ca/qaplib/inst.html#Ta

 

值得关注的blog

https://www.localsolver.com/news.html?id=35

 

[1] Koopmans TC, Beckmann M (1957). Assignment problems and the location of economic activities. Econometrica 25(1):53-76