1 点积

点积（dot product)，又称数量积、标量积.

输入： 一种接受两个等长的数字序列（通常是坐标向量）；
输出：返回单个数字。

在欧几里几何空间中，向量的点积运算又称为内积。

表示

代数定义

推广
矩阵的点积/内积，为对应矩阵元素的积之和。

A，B是定义为两个相同大小的矩阵。

值得注意的是，一些对于A，B大小不同，可以分别把它们组成的向量进行内积。
比如在numpy中：

import numpy
x = numpy.mat([[1, 2], [3, 4]])
y = numpy.mat([10, 20])
print("Matrix inner:")
print(numpy.inner(x, y))
''' Output：
Matrix inner:
[[ 50]
 [110]]
'''

2 叉积

叉积（Cross product），又称向量积（Vector product）、叉乘。

输入： 对三维空间中的两个向量；

输出： 返回一个向量；

表示

代数定义

叉积 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 是与 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$都垂直的向量 $\mathbf{c}$ 。

其方向由右手定则决定，模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。

$\mathbf{n}$ 是与 a， b都垂直的单位向量。

推广

矩阵表示：

3 外积

外积（Outer product） ，又名张量积。
外积与向量的内积相对， 是矩阵的克罗内克积的一种特例。

输入： 两个向量。

输出： 矩阵。

表示

代数定义


推广

矩阵的外积：克罗内克积（Kronecker product）
如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积 $A\otimes B$则是一个 $mp\times nq$ 的分块矩阵.

示例：

4 哈达玛乘积 (矩阵)

哈达玛积（Hadamard product） ，又名舒尔积或逐项积。

在机器学习中，哈达玛积还称为，元素积(element-wise product/point-wise product）。

输入： 两个相同形状的矩阵。

输出： 具有同样形状的、各个位置的元素等于两个输入矩阵相同位置元素的乘积的矩阵。

表示
$A\circ B$

代数定义

推广

如果矩阵维度不一样，矩阵/向量的哈达玛积计算如下：

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参考：

1. 矩阵运算；
2. wiki 点积;
3. wiki 叉积；
4. wiki 哈达玛乘积；
5. wiki 外积；
6. 克劳内克积；