卡特兰数(Catalan number) 其实来源于卡特兰解决凸$n+2$边形的剖分问题得到的数列$f(n)$（为了便于区分组合数，这里用$f(n)$表示）。卡特兰数是组合数学中常出现在各种计数问题中的数列。

$1,1,2,5,14,42,132...$

卡特兰数的性质

通项公式: $f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$​

递推公式: $f(n)=\frac{4n-2}{n-1}f(n-1)$

递归公式: $f(n)=f(0)\ast f(n-1)+f(1)\ast f(n-2)+...+f(n-1)\ast f(0)$​

接下来我们通过一系列的例子来深入理解一下卡特兰数。

走格子

走格子问题是对应卡特兰数的一个几何问题，可以从几何的角度来解释。

Description:

在$n\ast n$的网格中，起始点为$(0,0)$，终点为$(n,n)$​，每次可以向右或者向上走一步，在任意一个时刻，往右走的次数要$⩾$​​往上走的的次数。

Answer: 经过发现，所有合格路径否是不能触碰$y=x+1$这条直线的，只要碰到就说明这是一条不合法的路径。

下面我们从反面的角度分析，画一条不合法的路径(紫色的)，然后把这条路径沿着$y=x+1$​​​对称过去，然后我们会发现，路径的终点变成了$(n-1,n+1)$​​​。其实不管哪条不合法路径通过这条线对称过去，最终的终点都会变成$(n-1,n+1)$​​​，所以说，所有的不合法路径都是唯一对应着一条到$(n-1,n+1)$​​​的路径，那么不合法的路径总数为$C_{2n}^{n-1}$​​​。那么合法的路径总数就为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$​​​。 ​==(通项公式)==

进出栈

Description:

给定一个栈，有$n$​​次进栈，$n$次出栈，总共$2n$​次操作，问总共有多少合法的进出栈序列。

Answer:

其实我们可以知道，每一次进栈必须与一个出栈相对应，也就是说，在任何一个进出栈序列的 任意一个位置上，进栈的次数必须$⩾$出栈的次数。

和上述的走格子方法是一样的，可以将进栈看作向右走一步，出栈是向上走一步，因此合法的进出栈序列个数为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$。 (通项公式)

与之相同分析方法的还有:

1. 括号问题 ，$n$个左括号，$n$个右括号，问有多少个长度为$2n$的括号序列使得所有的括号都是合法的。 (通项公式)
2. 312排列 ，一个长度为$n$的排列$a$，只要满足$i<j<k$且$a_j<a_k<a_i$，这个排列就称为312排列。求$n$中全排列中不是312排列得排列个数。
   其实就是看一个排列 是否能用$1,2,3,...,n-1,n$利用进出栈来表示出来，312排列就是所有不能表示出来得排列，这个问题就转换成了进出栈问题，也是卡特兰数。 (通项公式)
3. 01序列 ，有$n$个0，$n$个1，问有多少个长度为$2n$得序列，使得序列中的任意一个位置往前，1的个数$\geqslant$0的个数。 (通项公式)

圆内连弦

Description:

圆上有$2n$个点，以这些点为端点连互不相交的$n$条弦，求连接的所有方法总数。

Answer:

我们规定start为起始点，顺时针方向为正方向。

从start开始，将一条弦 最先遇到的那个端点标记为$+$，后来遇见的另一个端点为标记为$-$，就可以得到如下图。

对于标蓝的点来说，我们可以看出，在它之前，$+$号的标记是必须$⩾$$-$号的标记的。

这样一来，就又是上述问题同样的解法了，$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$。 (通项公式)

二叉树的构成问题

Description:

有$n$个点，问用这$n$​​个点最终能构成多少个不同的二叉树？

Answer:

这个问题使用的是 递归公式 推导的。

一个二叉树由根节点、左子树、右子树构成，左子树和右子树又是一个二叉树，并且左右子树的节点数之和为$n-1$。

我们假设$i$个点可以构成$f(i)$​个二叉树，那么$f(i)$就是左右子树可以构成的二叉树个数的乘积。

那么$f(n)=f(0)\ast f(n-1)+f(1)\ast f(n-2)+...+f(n-1)\ast f(0)$，答案也是卡特兰数。

凸边形的剖分

Description:

求凸$n+2$边形用其$n-1$条对角线分割为互不重叠的三角形的分法总数。

Answer:

这个和上面那个二叉树的差不多。我们可以先随便连接两个顶点，这个凸多边形就会被划分为两个小的凸多边形，由于每条直线不能相交，那么这个凸多边形的方案数，就是两个小凸多边形的划分方案的乘积。

也是根据递推式推。

阶梯的矩形填充

用$n$个长方形去填充一个高度为$n$的阶梯图形的方法数。

我们可以看出每一个红色的小角肯定是属于不同的矩形。我们可以考虑一下与左下角那个紫色同属于一个矩形的是哪个角，假设是和第三个角属于一个矩形，那么这个矩形又将这个阶梯分成两个小梯形，这样就可以写出递推式了，所以所有的填充方案数就是卡特兰$f(n)$了。