最优化方法（基于lingo）之求解非线性规划问题(5/6)

问题描述：飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。启动 LINGO 的全局最优求解程序求解（即点击solver->options->Global Solver->点击Use Global Solver），得到全局最优解 x=978.3071，y= 723.9841，对应的目标函数的值为 0.668035。（从图中可以看出，

君无戏言。

4460人浏览 · 2023-06-27 14:17:44

君无戏言。 · 2023-06-27 14:17:44 发布

一、实验目的：

1. 练习建立实际问题的非线性规划模型；

2. 掌握用MATLAB 优化工具箱解非线性规划的方法，会利用fmincon、fminbnd、fminunc、fminsearch函数求解非线性规划问题；

3. 实验从算法思想、实验步骤与程序、运行结果、结果分析与讨论等几方面完成；

4. 预习非线性规划的基本理论内容，及利用数学软件优化工具箱函数选用的内容。

二、实验内容

题目：求解非线性规划：

程序代码：

model:

min=x1^2+x2^2+x3^2+8;

x1^2+x2^2+x3^2>0;

x1+x2^2+x3^3<20;

-x1-x2^2+x=0;

x2+2*x3^2=3;

end

程序执行结果：

结果解释：

当x1=0，x2=0.25，x3=1.172605时，该非线性规划求得全局最优解为9.437502

题目：对边长为3米的正方形铁板，在4个角处剪切相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

数学模型：

程序代码：

model:

max=(3-2*x)*(3-2*x)*x;

x<1.5;

end

程序执行结果：

结果解释：

x=0.5时，该非线性规划取得全局最优解2，即当四边分别减去边长为0.5m的正方形铁皮时，即水槽最大容量为2立方米。

题目：卡隆（Carron）化学公司的年轻工程师R 和D 合成了一种轰动

一时的新肥料，只用两种基本原料来制造. 公司想利用这个机会生产尽可能多的这种新肥料，公司目前有资金40000美元，可购买单价分别为8000美元的原料A和5000美元的原料B. 当用数量为x1和x2两种原料合成时，肥料的数量Q 由下式给出：

Q =4x1+2x2-0.5x12 -0.25x22

试确定购买原料的计划，使合成肥料的数量最多.

数学模型：

程序代码：

model:

max=4*x1+2*x2-0.5*x1^2-0.25*x2^2;

8000*x1+5000*x2<40000;

@gin(x1);@gin(x2);

end

程序执行结果：

结果解释：

当x1=3，x2=3时，该非线性规划取得全局最优解11.25。即当原料A买3份，原料B买3份时，最多可合成肥料11.25份。

题目：求下列函数最小值

程序代码：

min=3*(x1^2)+2*x1*x2+x2^2;

程序执行结果：

结果解释：

当x1=x2=0时，函数取得最小值0。

题目：验证书P466例题7.1.2 飞机的精确定位。问题描述：飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示，VOR 是高频多向导航设备的英文缩写，它能够得到飞机与该设备连线的角度信息；DME 是距离测量装置的英文缩写，它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离（括号内是测量误差限），并已知这 4 种设备的 x, y 坐标（假设飞机和这些设备在同一平面上）。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的位置？

数学模型：

记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为（x,y）（以 km 为单位），i=1,2,3,4 ；VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为（从图中可以看出，按照航空飞行管理的惯例，该角度是从北开始，沿顺时针方向的角度，取值在之间），角度的误差限为，i=1,2,3,4；DME 测量得到的距离为（单位：km），距离的误差限为。飞机当前位置的坐标为，则：

程序代码：

MODEL:

SETS:

VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha;

ENDSETS

INIT:

x=1000; y=900;

ENDINIT

DATA:

x0, y0, cita, sigma =

746 1393 161.2 0.8

629 375 45.1 0.6

1571 259 309.0 1.3;

x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;

ENDDATA

calc:

@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);

endcalc

min=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2;

@for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) );

END

程序执行结果：

结果解释：

启动 LINGO 的全局最优求解程序求解（即点击solver->options->Global Solver->点击Use Global Solver），得到全局最优解 x=978.3071，y= 723.9841，对应的目标函数的值为 0.668035。说明飞机的最优位置为（978.3071，723.9841）

分析与讨论：