极限

极限存在的七种情况为:
1 数列的极限
2 趋近于x₀的极限
3 趋近于x₀⁺的极限
4 趋近于x₀^-的极限
5 趋近于无穷的极限
6 趋近于无穷大的极限
7 趋近于无穷小的极限

δ ε X N M
首先我们来说说这几个符号的意思
δ：表示了x和x₀的趋近程度（越小越好）
ε：极限存在的时候表示极限和a的趋近程度（越小越好）
X:用于自变量趋于无穷大的时候使用（越大越好）
N:数列的极限使用（越大越好，表示这一项的以后/x_n-a/<ε）(越大越好)
M:表示一个任意大的数字，然后极限比他还大，来表示极限不存在（越大越好）
下面需要注意的是，当x趋于x₀的时候，x永远不会等于0。
ε一定是一个给定的正数。
/x_n-a/<ε为
a-ε<x_n<a+ε (x_n和a在数轴上的距离小于ε)

极限存在的定义

limx_n(n趋于无穷大)=a的定义;

∀ ε>0	∃ N∈N+	当 n>N时	/xn-a/<ε

limf(x)=a;(x趋于x₀)

∀ ε>0	∃ δ >0	当 0</x-x0/<δ 时	/f(x)-a/<ε

limf(x)=a;(x趋于x₀⁺)

∀ ε>0	∃ δ >0	当 x0<x<x0+δ 时	/f(x)-a/<ε

limf(x)=a;(x趋于x₀^-)

∀ ε>0	∃ δ >0	当 x0-δ<x<x0时	/f(x)-a/<ε

limf(x)=a;(x趋于∞)

∀ ε>0	∃ X >0	当 /x/>X时	/f(x)-a/<ε

imf(x)=a;(x趋于+∞)

∀ ε>0	∃ X >0	当 x>X时	/f(x)-a/<ε

imf(x)=a;(x趋于-∞)

∀ ε>0	∃ X >0	当 x<-X时	/f(x)-a/<ε

极限不存在的定义

limx_n(n趋于无穷大)=∞的定义;

∀ M>0	∃ N∈N+	当 n>N时	/xn/>M

limx_n(n趋于无穷大)=+∞的定义;

∀ M>0	∃ N∈N+	当 n>N时	xn>M

limx_n(n趋于无穷大)=-∞的定义;

∀ M>0	∃ N∈N+	当 n>N时	xn<-M

limf(x)=∞;(x趋于x₀)

∀ M>0	∃ δ >0	当 0</x-x0/<δ 时	/f(x)/>M

limf(x)=+∞;(x趋于x₀)

∀ M>0	∃ δ >0	当 0</x-x0/<δ 时	f(x)>M

limf(x)=-∞;(x趋于x₀)

∀ M>0	∃ δ >0	当 0</x-x0/<δ 时	f(x)<-M

limf(x)=∞;(x趋于x₀⁺)

∀ M>0	∃ δ >0	当 x0<x<x0+δ 时	/f(x)/>M

limf(x)=+∞;(x趋于x₀⁺)

∀ M>0	∃ δ >0	当 x0<x<x0+δ 时	f(x)>M

limf(x)=-∞;(x趋于x₀⁺)

∀ M>0	∃ δ >0	当 x0<x<x0+δ 时	f(x)<-M

limf(x)=∞;(x趋于x₀^-)

∀ M>0	∃ δ >0	当 x0-δ<x<x0时	/f(x)/>M

limf(x)=+∞;(x趋于x₀^-)

∀ M>0	∃ δ >0	当 x0-δ<x<x0时	f(x)>M

limf(x)=-∞;(x趋于x₀^-)

∀ M>0	∃ δ >0	当 x0-δ<x<x0时	f(x)<-M

limf(x)=∞;(x趋于∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 /x/>X时	/f(x)/>M

limf(x)=+∞;(x趋于∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 /x/>X时	f(x)>M

limf(x)=-∞;(x趋于∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 /x/>X时	f(x)<-M

imf(x)=∞;(x趋于+∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 x>X时	/f(x)/>M

imf(x)=+∞;(x趋于+∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 x>X时	f(x)>M

imf(x)=-∞;(x趋于+∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 x>X时	f(x)<-M

imf(x)=∞;(x趋于-∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 x<-X时	/f(x)/>M

imf(x)=+∞;(x趋于-∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 x<-X时	f(x)>M

imf(x)=-∞;(x趋于-∞)

∀ M>0	∃ X >0	当 x<-X时	f(x)<-M

应用：

极限的唯一性

（证明）

对于为何取（b-a）/2