【数学模型】层次分析
数学建模-层次分析
Hello大家好，今年数学建模国赛将于9月中旬举行，是时候提前做一些准备了。
本次模型非常简单，只是介绍比较得详细，我下次注意，争取限制下字数。
文末准备了 层次分析-python 模型的实现，简单懂得模型原理便能一眼看懂代码。
文章目录
层次分析(The analytic hierarchy process) 简称AHP，是建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀等。）
该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。
引例：
高考结束，坤坤面临选择大学的问题，摆在他面前的选择有两个：大学A和大学B。
坤坤觉得，他最关心的有四个方面：学习氛围，就业前景，男女比例，校园景色，权重分别为0.4，0.3，0.2，0.1。
那么坤坤要完成的，就是通过调查这两所学校的上面4个特征指标，对其进行打分，完成下表：
| 权重 | 大学A | 大学B | |
| 学习氛围 | 0.4 | ||
| 就业前景 | 0.3 | ||
| 男女比例 | 0.2 | ||
| 校园景色 | 0.1 |
最终，经过坤坤百度以及各种调查，打分如下(要求同一特征不同大学分数之和为1)：
| 权重 | 大学A | 大学B | |
| 学习氛围 | 0.4 | 0.6 | 0.4 |
| 就业前景 | 0.3 | 0.5 | 0.5 |
| 男女比例 | 0.2 | 0.3 | 0.7 |
| 校园景色 | 0.1 | 0.2 | 0.8 |
经计算：
- A = 0.4*0.6 + 0.3*0.5 + 0.2*0.3 + 0.1*0.2=0.47
- B = 0.53
B>A 因此最终小坤去了大学B。
即打分法解决评价问题时，只需要我们补充完成下面这张表格即可：
| 权重 | 方案1 | 方案2 | |
| 指标1 | |||
| 指标2 | |||
| 指标3 | |||
| 指标4 |
同颜色单元格之和为1。
一、层次分析法的例题
题目：
选择好大学后，坤坤准备在开学前去旅游，他决定在城市A，城市B，城市C中选择一个作为目标地点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为坤坤同学选择最佳的方案。
从上面居中的这段话中，很直接得就告诉我们这是一个评价类问题，那么我们不妨用刚刚学到的层次分析来解决这个问题。
解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
- 我们评价的目标是什么？
- 最佳旅游目标的选择
- 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
- 城市A、B、C
- 评价的准则或者说指标是什么？
- 我们根据什么东西来评价好坏？
那么问题来了，对于第三个问题，题目没给相关数据支撑，比如哪里的空气好啊费用低呀... 需要我们查阅相关的资料。
一般而言，前两个问题的答案很容易得到，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。
这个时候，我们就可以去知网（或者万方、百度学术、谷歌学术等平台）搜索相关的文献，这样一来，我们的论文也就有文献引用了，让我们的数据等看起来有理有据，显得专业，还能明目张胆地借鉴学习一下他们论文中的观点。
推荐一个据说很厉害的网站：虫部落快搜 - 搜索快人一步
那么现在，假如我们替坤坤查询了资料后选择了以下五个指标：
- 景点景色
- 旅游花费
- 居住环境
- 饮食情况
- 交通便利程度
接下来，要对坤坤如何提问才能帮他做出合理的决定？
这就要用到我们最开始学的那张表了
| 权重 | 城市A | 城市B | 城市C | |
| 景色 | ||||
| 花费 | ||||
| 居住 | ||||
| 饮食 | ||||
| 交通 |
但是，如果我们直接问坤坤：权重多少，城市ABC评分多少，会显得十分片面且不周全(第二天再问他绝对又换了个数，他自己也记不清。)
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难 是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接 考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此 失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至 有可能提出一组隐含矛盾的数据。
——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》
因此，我们采用分而治之的思想，先来处理权重吧~
问题：
- 一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。
解决方法：
- 两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。
1.1 两两比较获得判断矩阵
简单来说就是我们这5个指标分别比较，比如我觉得：景色比花费更重要，饮食比交通非常重要... 通过这样的方式对不同的重要程度赋值 并 最后计算，从而得到权值。
| 标度 | 含义 |
| 1 | 表示两个因素相比，具有同样重要性 |
| 3 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 |
| 5 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 |
| 7 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 |
| 9 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 |
| 2，4，6，8 | 上述两相邻判断的中值如2是1和3之间 |
| 倒数 | A和B相比如果标度为3，那么B和A相比就是1/3 |
接下来，就是两两比较五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。
我们绘制如下表格，其对角线肯定都为1：
| 景色 | 花费 | 居住 | 饮食 | 交通 | |
| 景色 | 1 | ||||
| 花费 | 1 | ||||
| 居住 | 1 | ||||
| 饮食 | 1 | ||||
| 交通 | 1 |
问：景色和花费相比的重要程度？
坤：我认为景色比花费略重要，介于同等重要1和稍微重要3之间吧。
问：景色和居住相比的重要程度？
坤： 我认为景色比居住要重要一点，介于稍微重要3和明显重要5之间吧。
| 景色 | 花费 | 居住 | 饮食 | 交通 | |
| 景色 | 1 | 2 | 4 | ||
| 花费 | 1/2 | 1 | |||
| 居住 | 1/4 | 1 | |||
| 饮食 | 1 | ||||
| 交通 | 1 |
这样坤坤回答完10次( )，填完了这张用于计算权重的表格(重要性更加稳定精确了)：
| 景色 | 花费 | 居住 | 饮食 | 交通 | |
| 景色 | 1 | 2 | 4 | 3 | 3 |
| 花费 | 2 | 1 | 7 | 5 | 5 |
| 居住 | 1/4 | 1/7 | 1 | 1/2 | 1/3 |
| 饮食 | 1/3 | 1/5 | 2 | 1 | 1 |
| 交通 | 1/3 | 1/5 | 3 | 1 | 1 |
注：实际情况下没有坤坤帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的，具体我们等后面再说。(其实我们自己凭感觉填，在论文中不说怎么来的也行，后面会有获奖案例鉴赏。)
这样，我们所形成的正互反矩阵，就是层次分析法中的判断矩阵。
得到判断矩阵，我们就可以计算出权重了，方法后面再讲。
同理，我们可以得到城市A、B、C在景色、花费、居住、饮食、交通所占的权重(得分)，因此需要再填5张表格，如问完了坤坤对于城市ABC中景色的看法：
| 景色 | 城市A | 城市B | 城市C |
| 城市A | 1 | 2 | 5 |
| 城市B | 1/2 | 1 | 2 |
| 城市C | 1/5 | 1/2 | 1 |
其它关于花费、居住、饮食、交通的表我就略了。
注：一个可能出现问题的地方：
坤坤：我觉得x比y好，y比z好，z比x好或一样好。
如果把语气加重一些，谁比谁非常好，那么这种不一致的现象会更加严重。
1.2 一致性正互反矩阵的引入
此时，我们就要介绍一个东西：一致矩阵，用它来判断数据知否合理。
- 若矩阵中每个元素
且满足
，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
- 在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
- 若正互反矩阵满足
，则我们称其为一致矩阵。
| 1 | 2 | 4 |
| 1/2 | 1 | 2 |
| 1/4 | 1/2 | 1 |
你看，上面这个矩阵就是一致矩阵。
比如我让i=1, j=2, k=3, 那么2*2=4：
令i=2, j=2, k=1, 那么1*1/2=1/2：
此外除了 一致矩阵还有个特点，就是行或列对应成比例。
我们引入一致矩阵，用来检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。
| 景色(原始) | 城市A | 城市B | 城市C |
| 城市A | 1 | 2 | 5 |
| 城市B | 1/2 | 1 | 2 |
| 城市C | 1/5 | 1/2 | 1 |
| 景色(一致矩阵) | 城市A | 城市B | 城市C |
| 城市A | 1 | 2 | 4 |
| 城市B | 1/2 | 1 | 2 |
| 城市C | 1/4 | 1/2 | 1 |
引理：n阶正反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征是
;
且当正反矩阵A非一致时，
| 景色 | 城市A | 城市B | 城市C |
| 城市A | 1 | 2 | a |
| 城市B | 1/2 | 1 | 2 |
| 城市C | 1/a | 1/2 | 1 |
从上图我们可以发现，当a=4也就是上方刚开始介绍的一致矩阵，此时最大特征值最小，为3=n也就是矩阵的阶数。若a不为4，或a离4越来越远，不一致现象越明显，则其特征值也递增。
1.2.1 一致性检验的步骤
1. 计算一致性指标CI
2. 查下表找对应的平均随机一致性指标RI
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| R | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立 二级指标体系，或使用我们以后要学习的模糊综合评价模型。
3. 计算一致性比例CR
如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；
否则需要对判断矩阵进行修正。
1.3 根据一致性正互反矩阵计算权重
以下表为例，虽然不是一致矩阵，但它的CR<0.1，我们选择接受不做调整。
(CR>0.1如何调整在后面)。
| 景色 | 城市A | 城市B | 城市C |
| 城市A | 1 | 2 | 5 |
| 城市B | 1/2 | 1 | 2 |
| 城市C | 1/5 | 1/2 | 1 |
我们取出第一列，做归一化处理(城市ABC对于城市A的重要性是1、1/2、1/4)。
- 城市A = 1 /(1+0.5+0.2) = 0.5882
- 城市B = 0.5/(1+0.5+0.2) = 0.2941
- 城市C = 0.2/(1+0.5+0.2) = 0.1177
之后我们拿出二三列重复上面操作：
- 城市A = 2 /(2+1+0.5) = 0.5714
- 城市B = 1/(2+1+0.5) = 0.2857
- 城市C = 0.5/(2+1+0.5) = = 0.1429
- 城市A = 5 /(5+2+1) = 0.625
- 城市B = 2/(5+2+1) = 0.25
- 城市C = 1/(5+2+1) = 0.125
这样我们得到三组权重：
法1：算术平均求权重：
- 第一步：将判断矩阵按照列归一化 （每一个元素除以其所在列的和）
- 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
- 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
- 城市A = (0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949
- 城市B = (0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766
- 城市C = (0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285
法2：几何平均法求权重
- 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
- 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
- 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
- 城市A = 0.5954
- 城市B = 0.2764
- 城市C = 0.1283
法3：特征值法求权重
假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0。
- 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
- 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
| 景色 | 城市A | 城市B | 城市C |
| 城市A | 1 | 2 | 5 |
| 城市B | 1/2 | 1 | 2 |
| 城市C | 1/5 | 1/2 | 1 |
该表最大特征值为3.0055，一致性比例CR=0.0053，对应的特征向量：[-0.8902，-0.4132，-0.1918]，对其进行归一化：[0.5954,0.2764,0.1283]
| 算术平均法 | 几何平均法 | 特征值法 | |
| 城市A | 0.5949 | 0.5954 | 0.5954 |
| 城市B | 0.2766 | 0.2764 | 0.2764 |
| 城市C | 0.1285 | 0.1283 | 0.1283 |
我们大多数情况下使用特征值法，将其带入初始要填的表：
| 权重 | 城市A | 城市B | 城市C | |
| 景色 | 0.5954 | 0.2764 | 0.1283 | |
| 花费 | ||||
| 居住 | ||||
| 饮食 | ||||
| 交通 |
同理这些空着的地方都可以使用同样的方式。
此时，我们终于得到了这个判断矩阵：
| 权重 | 城市A | 城市B | 城市C | |
| 景色 | 0.2636 | 0.5954 | 0.2764 | 0.1283 |
| 花费 | 0.4758 | 0.0819 | 0.2363 | 0.6817 |
| 居住 | 0.0538 | 0.4286 | 0.4286 | 0.1429 |
| 饮食 | 0.0981 | 0.6337 | 0.1919 | 0.1744 |
| 交通 | 0.1087 | 0.1667 | 0.1667 | 0.6667 |
城市A最终得分：0.299
城市B最终得分：0.245
城市C最终得分：0.455
所以最后去城市C旅游。
二、层次分析法
层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把 复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避 决策者主观判断的缺点
步骤：
1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构.
注意：如果你用到了层次分析法，那么上面这个层次结构图要放在你的建模论文中哦。
2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
看看优秀论文的做法吧：
【2008年国赛B题一等奖】 关于高等教育学费标准的评价及建议
【2016年国赛MATLAB创新奖B题】中国人民大学‐小区开放道路通行影响
准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据， 可以考虑利用这些数据进行计算。
例如：有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且 你收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。
3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重， 并进行一致性检验(检验通过权重才能用)
CR<0.1通过后，三种3方法计算权重：算术平均、几何平均、特征值法。
建议大家在比赛时三种方法都使用
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得 到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了 采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。
注：
- 一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验；
- 在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算 权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程
当CR>0.1时如何修正？
| 指标X | 城市A | 城市B | 城市C |
| 城市A | 1 | 2 | 1 |
| 城市B | 1/2 | 1 | 2 |
| 城市C | 1 | 1/2 | 1 |
答：往一致矩阵上调整，一致矩阵的行列成倍数关系
所以：
| 指标X | 城市A | 城市B | 城市C |
| 城市A | 1 | 2 | 4 |
| 城市B | 1/2 | 1 | 2 |
| 城市C | 1/4 | 1/2 | 1 |
4. 根据权重矩阵计算最终得分，并进行排序。
三、层次分析法的一些局限性
1. 评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和 一致矩阵差异 可能会很大。
我们上面提到过的RI指标也只到了15：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| R | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
2. 如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？
层次分析法中，实际情况下没有坤坤帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的。(谁比谁重要啊，重要程度是几呀... )，其实我们自己凭感觉填(两两比较的结果)。
该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。
四、模型拓展
1. 多个准则层：
与之前做法一样，不过是多算几组表格。
2. 准则不对应全部方案：
可以把另一个方案的权重设为0
*3. 一个准则只对应自己的方案
我们只要生成这样的表即可：
先成大的部分的判断矩阵，再分别处理小的。
感觉这个模型还是很简单的。如果有不理解的地方可以联系帅气的博主。
五、代码展示
你要购买一台笔记本电脑，要考虑其：颜值、性能、口碑、重量、保险情况，这5个方面，最终筛选出了3种品牌的电脑。
第一步：
确定了目标层、准则层、方案层后，我们要做的就是填下表：
| 权重 | 电脑A | 电脑B | 电脑C | |
| 颜值 | ||||
| 性能 | ||||
| 口碑 | ||||
| 重量 | ||||
| 保险情况 |
第二步：
我们先处理第一列(权重)，其判断矩阵如下。
| 颜值 | 性能 | 口碑 | 重量 | 保险情况 | |
| 颜值 | 1 | 1/2 | 4 | 3 | 3 |
| 性能 | 2 | 1 | 7 | 5 | 5 |
| 口碑 | 1/4 | 1/7 | 1 | 1/2 | 1/3 |
| 重量 | 1/3 | 1/5 | 2 | 1 | 1 |
| 保险情况 | 1/3 | 1/5 | 3 | 1 | 1 |
matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
[1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])
下面我就以上面这个判断矩阵为例子，定义权重类：
代码1：
- 只定义了权重求解类，初始化时要传入一个判断矩阵。
- 往往我们层次分析问题要求解多个判断矩阵，可以自己在这基础之上定义一个AHP类，初始化时把全部判断矩阵都放进去，直接内部计算输出选择方案。
import numpy as np
# 计算权重类
# 首先初始化判断矩阵，检验其CR是否<0.1，如果小于则计算权重，否则提示调整矩阵内数值。
class Calculate_weights:
# 初始化判断矩阵
def __init__(self, array):
self.array = array
# n为矩阵维度
self.n = array.shape[0]
# 矩阵的特征值和特征向量
self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)
# 矩阵的最大特征值
self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)
# 矩阵最大特征值对应的特征向量
self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real
# 矩阵的一致性指标CI
self.CI_value = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)
# 平均随机一致性指标RI值列表，用于一致性检验。
self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,
1.59]
# 矩阵的一致性比例CR
self.CR_value = self.CI_value / (self.RI_list[self.n - 1])
# 一致性判断 返回布尔类型
def test_consist(self):
# 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR
# 进行一致性检验判断
if self.n == 2 or self.CR_value < 0.1: # 二阶矩阵或CR值小于0.1，可以通过一致性检验。
return True
else: # CR值大于0.1, 一致性检验不通过。
print("判断矩阵的CR值为：" + str(self.CR_value) + ",未通过一致性检验。")
return False
# 算术平均法求权重
def cal_weight_by_arithmetic_method(self):
# 求矩阵的每列的和
col_sum = np.sum(self.array, axis=0)
# 将判断矩阵按照列归一化
array_normed = self.array / col_sum
# 计算权重向量
array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n
# 打印权重向量
print("算术平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
# 几何平均法求权重
def cal_weight_by_geometric_method(self):
# 求矩阵的每列的积
col_product = np.product(self.array, axis=1)
# 将得到的积向量的每个分量进行开n次方
array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)
# 将列向量归一化
array_weight = array_power / np.sum(array_power)
# 打印权重向量
print("几何平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
# 特征值法求权重
def cal_weight_by_eigenvalue_method(self):
# 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重
array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)
# 打印权重向量
print("特征值法计算得到的权重为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
if __name__ == "__main__":
# 给出判断矩阵
matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
[1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])
# 权重对象
weights_obj = Calculate_weights(matrix)
if weights_obj.test_consist():
# 算术平均法求权重
weight1 = weights_obj.cal_weight_by_arithmetic_method()
# 几何平均法求权重
weight2 = weights_obj.cal_weight_by_geometric_method()
# 特征值法求权重
weight3 = weights_obj.cal_weight_by_eigenvalue_method()算术平均法计算得到的权重为： [0.26228108 0.47439499 0.0544921 0.09853357 0.11029827] 几何平均法计算得到的权重为： [0.2636328 0.47726387 0.05307416 0.09883999 0.10718918] 特征值法计算得到的权重为： [0.26360349 0.47583538 0.0538146 0.09806829 0.10867824]
很明显，性能要更重要一些：
因此我们填完了表的第一列：
| 权重 | 电脑A | 电脑B | 电脑C | |
| 颜值 | 0.2636 | |||
| 性能 | 0.4758 | |||
| 口碑 | 0.0538 | |||
| 重量 | 0.0980 | |||
| 保险情况 | 0.1086 |
其它列同理。
代码2：
- AHP类，初始化时把全部判断矩阵都放进去，直接内部计算输出选择方案。
总之要学会变通。
import numpy as np
# 计算权重类
# 首先初始化判断矩阵，检验其CR是否<0.1，如果小于则计算权重，否则提示调整矩阵内数值。
class Calculate_weights:
# 初始化判断矩阵
def __init__(self, array):
self.array = array
# n为矩阵维度
self.n = array.shape[0]
# 矩阵的特征值和特征向量
self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)
# 矩阵的最大特征值
self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)
# 矩阵最大特征值对应的特征向量
self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real
# 矩阵的一致性指标CI
self.CI_value = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)
# 平均随机一致性指标RI值列表，用于一致性检验。
self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,
1.59]
# 矩阵的一致性比例CR
self.CR_value = self.CI_value / (self.RI_list[self.n - 1])
# 一致性判断 返回布尔类型
def test_consist(self):
# 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR
# 进行一致性检验判断
if self.n == 2 or self.CR_value < 0.1: # 二阶矩阵或CR值小于0.1，可以通过一致性检验。
return True
else: # CR值大于0.1, 一致性检验不通过。
print("判断矩阵的CR值为：" + str(self.CR_value) + ",未通过一致性检验。")
return False
# 算术平均法求权重
def cal_weight_by_arithmetic_method(self):
# 求矩阵的每列的和
col_sum = np.sum(self.array, axis=0)
# 将判断矩阵按照列归一化
array_normed = self.array / col_sum
# 计算权重向量
array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n
# 打印权重向量
#print("算术平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
# 几何平均法求权重
def cal_weight_by_geometric_method(self):
# 求矩阵的每列的积
col_product = np.product(self.array, axis=1)
# 将得到的积向量的每个分量进行开n次方
array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)
# 将列向量归一化
array_weight = array_power / np.sum(array_power)
# 打印权重向量
#print("几何平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
# 特征值法求权重
def cal_weight_by_eigenvalue_method(self):
# 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重
array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)
# 打印权重向量
#print("特征值法计算得到的权重为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
class AHP:
def __init__(self, *args):
self.col = args[0]
self.row = args[1]
self.array = args[2:]
# 初始化最终矩阵
self.finally_matrix = np.empty((len(self.row),len(self.col),))
# 生成全部填好后的最终矩阵
def f_matrix(self):
# matrix 为每个判断矩阵，记得注意顺序，如权重在第一列。
col = 0
row = 0
for matrix in self.array:
weights_obj = Calculate_weights(matrix)
if weights_obj.test_consist():
# 特征值法求权重
weight3 = weights_obj.cal_weight_by_eigenvalue_method()
if col == 0: # 权重的权重放在列(竖着放在第一列)
self.finally_matrix[:, col] = weight3
col += 1
else: # 剩下的都放在行(每行横着放)
self.finally_matrix[row, col:] = weight3
row += 1
return self.finally_matrix
def result(self):
self.f_matrix()
res = []
for i in range(len(self.col)-1):
tem_res = np.sum(self.finally_matrix[:,0]*self.finally_matrix[:,i+1])
res.append(tem_res)
return res
if __name__ == "__main__":
# 给出判断矩阵
col = ['权重', '电脑A', '电脑B', '电脑C']
row = ['颜值', '性能', '口碑', '重量', '保险']
weighting = np.array(
[[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
[1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])
appearance = np.array([[1, 2, 5], [1 / 2, 1, 2], [1 / 5, 1 / 2, 1]])
performance = np.array([[1, 1 / 3, 1 / 8], [3, 1, 1 / 3], [8, 3, 1]])
public_praise = np.array([[1, 1, 3], [1, 1, 3], [1 / 3, 1 / 3, 1]])
weight = np.array([[1, 3, 4], [1 / 3, 1, 1], [1 / 4, 1, 1]])
insurance = np.array([[1, 1, 1 / 4], [1, 1, 1 / 4], [4, 4, 1]])
score_result = AHP(col, row, weighting, appearance, performance, public_praise, weight, insurance).result()
print('选择{}'.format(col[np.argmax(score_result)+1]))
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