[微积分笔记]第二类曲线/面积分总结
对于坐标的曲线积分
总体说一下
整个第二型没有直观的数学意义，具有的是“场”的物理意义，是“流入”和“流出”的问题，所以都是要考虑方向的。处理思路也多是把它们变换为一型情况处理。
| 积分 | 方法 | 意义/提示 |
|---|---|---|
| 平面第二型曲线积分 | 化为定积分 | ∮ L → ∫ a b \oint_L \to \int_a^b ∮L→∫ab |
| 平面第二型曲线积分 | 格林公式 | ∮ L → ∬ D \oint_L \to \iint_D ∮L→∬D化为对平面区域的二重积分 |
| 空间第二型曲线积分 | 斯托克斯公式 | ∮ L → ∬ ∑ \oint_L \to \iint_{\sum} ∮L→∬∑化为第一型曲面积分 |
| 第二型曲面积分 | 化为二重积分 | 注意根据方向添加正负号 |
| 第二型曲面积分 | 高斯公式 | ∯ ∑ → ∭ Ω \oiint_{\sum} \to \iiint_{\Omega} ∬∑→∭Ω化为三重积分处理 |
记忆技巧：
- 平面曲线可以围出一个面，所以可以转化为平面区域的二重积分
- 空间第二型曲线积分想象一个吹泡泡的圆环
- 曲面可以围出一个体积，所以可以（高斯公式）化为三重积分处理
高斯公式：
∯ ∑ P d y d z + Q d x d z + R d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v \oiint\limits_{\sum}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv ∑∬Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=Ω∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv
第二型曲线积分
这个要对比这来看，第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，并且这是没有方向的（就是说你对弧AB从A到B和从B到A积分的结果是一样的）
对坐标的曲线积分最显著的特点就是有方向，实际应用比如说求某一个力，在某一个方向（如x轴）上所做的功。
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
对于这样一个式子， P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)表示这一个力在运动过程中力的大小在x轴方向是如何变化的，类似地 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)表示这一个力在运动过程中力的大小在y轴方向是如何变化的
即， P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是 x x x轴分量（如“水平分力”）而 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)是 y y y轴分量（如“垂直分力”）。 d x dx dx可以是水平位移， d y dy dy可以是垂直位移。
第二类曲面积分在数学上是抽象的，更多的是具有物理上的意义，这里涉及“场”的概念。
第一类曲线积分(被积函数是标量函数)
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
\int_L f(x,y)ds
∫Lf(x,y)ds
第二类曲线积分
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
由于
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
dy=f'(x)dx
dy=f′(x)dx，上式亦可以写为
∫
a
b
[
F
y
(
x
,
y
)
∗
f
′
(
x
)
+
F
x
(
x
,
y
)
]
d
x
\int_a^b [F_y(x,y)*f'(x)+F_x(x,y)]dx
∫ab[Fy(x,y)∗f′(x)+Fx(x,y)]dx
由于可以参数化表示，即
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
x=x(t),y=y(t)
x=x(t),y=y(t)则有
∫
α
β
[
F
y
(
x
,
y
)
∗
y
′
(
t
)
d
t
+
F
x
(
x
,
y
)
∗
x
′
(
t
)
d
t
]
\int_\alpha^\beta [F_y(x,y)*y'(t)dt+F_x(x,y)*x'(t)dt]
∫αβ[Fy(x,y)∗y′(t)dt+Fx(x,y)∗x′(t)dt]
物理意义上的推导
分割：将有向弧AB分为若干微元，从A标这端记为
M
0
M_0
M0，B那段记为
M
n
M_n
Mn，一共有n段。记第i段是
Δ
i
\Delta_i
Δi
近似：每一小段上的做功为
Δ
W
i
=
F
→
(
ξ
i
,
η
i
)
⋅
Δ
i
\Delta W_i= \overrightarrow F (\xi_i,\eta_i)·\Delta_i
ΔWi=F(ξi,ηi)⋅Δi
注意这里是向量的点乘，这意味着可以转化为
Δ
W
i
=
[
P
(
ξ
i
,
η
i
)
,
Q
(
ξ
i
,
η
i
)
]
⋅
[
Δ
x
i
,
Δ
y
i
]
\Delta W_i=[P(\xi_i,\eta_i),Q(\xi_i,\eta_i)]·[\Delta x_i,\Delta y_i]
ΔWi=[P(ξi,ηi),Q(ξi,ηi)]⋅[Δxi,Δyi]
进一步地变为下式（三维空间同理）
Δ
W
i
=
P
(
ξ
i
,
η
i
)
Δ
x
i
+
Q
(
ξ
i
,
η
i
)
Δ
y
i
\Delta W_i=P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i
ΔWi=P(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi
求和：
W
≈
∑
i
=
1
n
P
(
ξ
i
,
η
i
)
Δ
x
i
+
Q
(
ξ
i
,
η
i
)
Δ
y
i
W\approx \sum_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i
W≈i=1∑nP(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi
最终经过取极限变为
W
=
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
W= \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy
W=∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
这称之为
P
(
x
,
y
)
,
Q
(
x
,
y
)
P(x,y),Q(x,y)
P(x,y),Q(x,y)分别对坐标x,y的曲线积分
进一步地将 ∫ L P ( x , y ) d x \int_L P(x,y)dx ∫LP(x,y)dx称为 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)在有向弧L上对x的曲线积分
两种计算方法
- 转化为定积分（基本方法）
- 格林公式
积分上下限是有顺序的，不可颠倒，必须是起点到终点
转化成定积分处理
∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ x 0 x 1 P ( x , y ( x ) ) d x + Q ( x , y ( x ) ) d y ( x ) \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{x_0}^{x_1}P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy(x) ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫x0x1P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy(x)
由于
d
y
(
x
)
=
y
′
(
x
)
d
x
dy(x)=y'(x)dx
dy(x)=y′(x)dx则有
∫
x
0
x
1
[
P
(
x
,
y
(
x
)
)
+
Q
(
x
,
y
(
x
)
)
⋅
y
′
(
x
)
]
d
x
\int_{x_0}^{x_1}[P(x,y(x))+Q(x,y(x))·y'(x)]dx
∫x0x1[P(x,y(x))+Q(x,y(x))⋅y′(x)]dx
从而将之转化为常见的定积分进行处理
同理地也可以转化为对y轴的定积分如下式
∫
y
0
y
1
[
P
(
x
(
y
)
,
y
)
x
′
(
y
)
+
Q
(
x
(
y
)
,
y
)
]
d
y
\int_{y_0}^{y_1}[P(x(y),y)x'(y)+Q(x(y),y)]dy
∫y0y1[P(x(y),y)x′(y)+Q(x(y),y)]dy
请注意，将所有 y y y换成 x x x意味着 d y dy dy也要换成 d x dx dx。类似地 y y y换成 x 2 x^2 x2则意味着 d y dy dy也要换成 d x 2 dx^2 dx2,。对所有 x x x换成 y y y亦然。
另外对于积分区域 L L L是一条直线例如 y = a y=a y=a的情况，此时 d y = 0 dy = 0 dy=0
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
L
P
(
x
,
a
)
d
x
\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LP(x,a)dx
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫LP(x,a)dx
同理对于积分区域
L
L
L是直线
x
=
a
x=a
x=a的情况，此时
d
x
=
0
dx = 0
dx=0
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
L
Q
(
a
,
y
)
d
y
\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LQ(a,y)dy
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫LQ(a,y)dy
对于参数方程下的第二类曲线积分
f
(
x
)
=
{
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
t
:
t
1
→
t
2
f(x)=\left\{ \begin{aligned} x & = & x(t) \\ y & = & y(t) \\ \end{aligned} \right. \quad t:t_1 \to t_2
f(x)={xy==x(t)y(t)t:t1→t2
也可以这样处理为
∫
t
1
t
2
[
P
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
x
′
(
t
)
+
Q
(
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
y
′
(
t
)
]
d
t
\int_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q((x(t),y(t))y'(t)]dt
∫t1t2[P(x(t),y(t))x′(t)+Q((x(t),y(t))y′(t)]dt
格林公式
- 封闭曲线，围出区域 D D D
- L取正向
- 函数P、Q具有一阶连续偏导数
什么叫 L L L取正向啊？就是一个人沿着 L L L走，左手始终在 L L L围成的区域 D D D内（即逆时针跑操场）
例题
例题1
例题2
∫
L
2
x
y
d
x
+
x
2
d
y
\int_L 2xydx+x^2dy
∫L2xydx+x2dy
在
L
1
L_1
L1情况下，由于
y
=
x
2
y=x^2
y=x2代入原式等于
∫
0
1
2
x
⋅
x
2
d
x
+
x
2
d
x
2
\int_0^1 2x·x^2dx+x^2dx^2
∫012x⋅x2dx+x2dx2
然后就是说对于
x
2
d
x
2
=
x
2
⋅
2
x
d
x
x^2dx^2=x^2·2xdx
x2dx2=x2⋅2xdx，这是为什么呢，原因在于这是
d
x
2
d
x
=
2
x
\frac{dx^2}{dx}=2x
dxdx2=2x的移项，进一步地将之带入上式。
∫
0
1
(
2
x
3
+
2
x
3
)
d
x
=
4
∫
0
1
x
3
d
x
=
1
\int_0^1 (2x^3+2x^3)dx=4\int_0^1x^3dx=1
∫01(2x3+2x3)dx=4∫01x3dx=1
在
L
2
L_2
L2情况下，由于
y
=
x
y=\sqrt{x}
y=x代入原式等于
∫
0
1
2
x
⋅
x
d
x
+
x
2
d
x
=
∫
0
1
[
2
x
3
2
+
1
2
x
3
2
]
d
x
=
5
2
∫
0
1
x
3
2
d
x
=
1
\int_0^1 2x·\sqrt{x}dx+x^2d\sqrt{x}=\int_0^1 [2x^{\frac32} +\frac12x^{\frac32}]dx=\frac52\int_0^1x^{\frac32}dx=1
∫012x⋅xdx+x2dx=∫01[2x23+21x23]dx=25∫01x23dx=1
在 L 3 L_3 L3的情况下
这仨结果都一样，这说明啥？说明做功跟起点和终点的位置有关，跟走的路径无关。
∫ 0 1 2 x ⋅ x 2 d x + x 2 d x 2 \int_0^1 2x·x^2dx+x^2dx^2 ∫012x⋅x2dx+x2dx2因为对上式的两部分求偏导，不论是 2 x y 2xy 2xy还是 x 2 x^2 x2其结果都是 2 x 2x 2x。详见格林公式。
例3（空间曲线）
计算
∫
τ
x
3
d
x
+
3
z
y
2
d
y
−
x
2
y
d
z
\int_\tau x^3dx+3zy^2dy-x^2ydz
∫τx3dx+3zy2dy−x2ydz其中
τ
\tau
τ如下图
从
A
(
3
,
2
,
1
)
A(3,2,1)
A(3,2,1)到
B
(
0
,
0
,
0
)
B(0,0,0)
B(0,0,0)的两种路径
- 沿直线 A B AB AB
- 沿折线 A C D B ACDB ACDB，其中 C ( 3 , 2 , 0 ) , D ( 3 , 0 , 0 ) C(3,2,0),D(3,0,0) C(3,2,0),D(3,0,0)
对于第一种情况，先转换出参数方程。可由下式移项得
x
3
=
y
2
=
z
1
=
t
\frac x3 =\frac y2 =\frac z1=t
3x=2y=1z=t
然后就把
x
=
3
t
,
y
=
2
t
,
z
=
t
x=3t,y=2t,z=t
x=3t,y=2t,z=t带入所求的积分式中
∫
1
0
(
3
t
)
3
d
3
t
+
3
⋅
t
⋅
(
2
t
)
2
d
2
t
−
(
3
t
)
2
⋅
2
t
d
t
\int_1^0 (3t)^3d3t+3·t·(2t)^2d2t-(3t)^2·2tdt
∫10(3t)3d3t+3⋅t⋅(2t)2d2t−(3t)2⋅2tdt
其中在
x
=
3
x=3
x=3时
t
=
1
t=1
t=1，
x
=
0
x=0
x=0时
t
=
0
t=0
t=0，这也是积分的范围
进一步地
−
∫
0
1
87
t
3
d
t
=
−
87
4
-\int_0^1 87t^3dt=-\frac{87}{4}
−∫0187t3dt=−487
对于第二种情况则有
※例4（多种方法）
已知曲线 L L L的方程为 y = 1 − ∣ x ∣ ( x ∈ [ − 1 , 1 ] ) y=1-|x|(x \in [-1,1]) y=1−∣x∣(x∈[−1,1])，起点是 ( − 1 , 0 = ) (-1,0=) (−1,0=)，终点是 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)，则曲线积分 ∫ L x y d x + x 2 d y = \int_Lxydx+x^2dy= ∫Lxydx+x2dy=____
第一种方法（老老实实分段计算化为定积分即可）
方法2，利用性质（物理意义+奇偶性）
方法3，格林公式
参考
https://www.bilibili.com/video/BV11b411W7et
https://zhuanlan.zhihu.com/p/56393995
https://zhuanlan.zhihu.com/p/154247928
https://blog.csdn.net/libozhen9011/article/details/121958349
基础30讲
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