集对分析（SPA）——综合评价
集对分析是在一定的问题背景下，对集对中2个集合的确定性与不确定性以及确定性与不确定性的相互作用所进行的一种系统和数学分析。通常包括对集对中2个集合的特性、关系、结构、状态、趋势、以及相互联系模式所进行的分析；这种分析一般通过建立所论2个集合的联系数进行，有时也可以不借助联系数进行分析。...
1 集对分析概述
集对分析（SPA）又称联系数学，是由我国学者赵克勤提出的一种利用联系度处理不确定性问题的新型系统分析方法。
该方法将决策方案的定性方面与定量方面相结合，处理和分析由随机性、模糊性、不完整性等不确定因素引起的不确定系统，且可从中发现其暗含的知识，并揭示内在的规律。
集对分析理论就是在一定的背景下，对集对中有一定关联的两个集合的确定性与不确定性以及确定性与不确定性之间的相互作用进行的系统性的数学分析，是从整体上全面研究确定性和不确定性的一种新的不确定性理论方法。
1.1 集对
所谓“集对”是指有一定联系的两个集合结成的对子。
例如，在一定的条件下，已知与末知、确定性与不确定性、线性与非线性以及两个学生、一对恋人、教师与学生等都可以当作是具有一定联系的对子。
2 集对分析原理
集对分析理论认为不确定性是事物的普遍属性，任何事物及系统都是确定性和不确定性的矛盾统一体。
集对分析的核心思想就是把被研究的客观事物之间确定性联系与不确定性联系作为一个不确定性系统来分析处理。
其中确定性包括“同一”与“对立”两个方面，不确定性则单指“差异”，集对分析就是通过同一性、差异性、对立性这三个方面来分析事物及其系统。这三者相互联系、相互影响、又相互制约，在一定的条件下还会相互转化。
设在同一个不确定系统中，两个有关联的集合分别为
X
X
X 、
Y
Y
Y ，均拥有
N
N
N 项特征，则可以分别表示为
X
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
，
Y
=
(
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
n
)
X=\left( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right) \text{，}Y=\left( y_1,y_2,\cdots ,y_n \right)
X=(x1,x2,⋯,xn)，Y=(y1,y2,⋯,yn)
将 X X X 、 Y Y Y 构成一组集对 H ( X , Y ) H(X,Y) H(X,Y) ，把集合 X X X 和 Y Y Y 的特性看作一个系统进行处理，分析集对中集合 X X X 和 Y Y Y 的同一性、差异性和对立性。
根据同、异、反三者之间的关系，同异反联系度表达式为
μ
(
X
,
Y
)
=
S
N
+
F
N
i
+
P
N
j
\mu \left( X,Y \right) =\frac{S}{N}+\frac{F}{N}i+\frac{P}{N}j
μ(X,Y)=NS+NFi+NPj
式中：
-
μ ( X , Y ) \mu \left( X,Y \right) μ(X,Y)为集对 H ( X , Y ) H(X,Y) H(X,Y) 的联系度；
-
N N N 为集合中元素的总个数， N = S + P + F N=S+P+F N=S+P+F ；
-
S S S 为两个集合中处于同一状态（相同特性）元素的个数；
-
P P P 为两集合中处于对立状态（相反特性）元素的个数；
-
F = N − S − P F=N-S-P F=N−S−P 为两集合中处于差异状态（差异特性）元素的个数，即集中既不同一，也不对立的特征数；
-
i i i 为差异性系数，可根据具体情况在 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1)区间取值；
-
j j j 为对立性标识系数，j往往取-1。
令
a
=
S
N
，
b
=
F
N
，
c
=
P
N
a=\frac{S}{N}\text{，}b=\frac{F}{N}\text{，}c=\frac{P}{N}
a=NS，b=NF，c=NP
则可简化为：
μ ( X , Y ) = a + b i + c j \mu \left( X,Y \right) =a+bi+cj μ(X,Y)=a+bi+cj
式中： a + b + c = 1 a+b+c=1 a+b+c=1
- a a a 表示两集合的同一度；
- b b b 表示两集合的差异度；
- c c c 表示两集合的对立度。
上述方程也称为三元联系度方程，由于实际问题的复杂性，可得多元联系度 μ \mu μ ，若记 b i = b 1 i 1 + b 2 i 2 + ⋯ + b k i k bi=b_1i_1+b_2i_2+\cdots +b_ki_k bi=b1i1+b2i2+⋯+bkik，则可以写为，
μ ( X , Y ) = a + b 1 i 1 + b 2 i 2 + ⋯ + b k i k + c j \mu \left( X,Y \right) =a+b_1i_1+b_2i_2+\cdots +b_ki_k+cj μ(X,Y)=a+b1i1+b2i2+⋯+bkik+cj
称为 k k k 元联系度方程， k k k 为差异度分量数， b 1 , b 2 , ⋯ , b k b_1,b_2,\cdots ,b_k b1,b2,⋯,bk 为差异度分量， i 1 , i 2 , ⋯ , i k i_1,i_2,\cdots ,i_k i1,i2,⋯,ik为差异度分量系数。
式中，根据归一化条件
a
+
b
1
+
b
2
+
⋯
+
b
k
+
c
=
1
a+b_1+b_2+\cdots +b_k+c=1
a+b1+b2+⋯+bk+c=1
确定两集合的相似性最终是通过计算联系度的大小来进行判断的。
考虑各个影响因素或评价指标的权重时，则同一、对立、差异特性权重的联系度 μ \mu μ 为：
μ ( X , Y ) = a + b i + c j = ∑ k = 1 S w k + ∑ k = S + 1 S + F w k i + ∑ k = S + F + 1 N w k j \mu \left( X,Y \right) =a+bi+cj=\sum_{k=1}^S{w_k}+\sum_{k=S+1}^{S+F}{w_ki}+\sum_{k=S+F+1}^N{w_kj} μ(X,Y)=a+bi+cj=k=1∑Swk+k=S+1∑S+Fwki+k=S+F+1∑Nwkj
式中： ∑ k = 1 N w k = 1 \sum_{k=1}^N{w_k}=1 ∑k=1Nwk=1， w j w_j wj 为各特性权重，由层次分析法、熵值法等确定。
为了能够更加直观方便地计算考虑权重时的联系度
μ
\mu
μ，引入同异反向量模型，其形式为
μ
=
W
R
E
=
(
w
1
,
w
2
,
⋯
,
w
n
)
(
l
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
⋮
⋮
⋮
a
n
b
n
c
n
)
(
1
i
j
)
\mu =\boldsymbol{WRE}=\left( w_1,w_2,\cdots ,w_n \right) \left( \begin{matrix}{l} a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ \vdots& \vdots& \vdots\\ a_n& b_n& c_n\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\ i\\ j\\ \end{array} \right)
μ=WRE=(w1,w2,⋯,wn)⎝⎜⎜⎜⎛la1a2⋮anb1b2⋮bnc1c2⋮cn⎠⎟⎟⎟⎞⎝⎛1ij⎠⎞
W为权重系数向量矩阵，Ｒ 为同异反向量矩阵，E 为同异反系数矩阵
2.1 权重确定
在应用集对分析法对指标体系进行评价时，常常需要建立各个指标在不同权重下的评价体系，因此，
关于权重的确定，可以选择主观赋权或客观赋权或组合赋权法（如AHP+熵值法）对指标体系进行赋权。从而构建指标体系的（AHP+熵值法）集对分析模型
因为集对分析法削弱了权重的作用，减少了因权重设置失误而导致评价结果产生较大偏差的影响，所以评价结果会更加客观和科学。
3 评价具体步骤
3.1 构建评价矩阵
根据筛选后的指标体系，构建评价矩阵 H m × n H_{m\times n} Hm×n（n个指标）
对于多属性评价问题，记 Q = [ F , Z , W , H ] Q=[F,Z,W,H] Q=[F,Z,W,H] 。各自的含义为：
- 方案集 F = { f 1 , f 2 , ⋯ , f m } F=\left\{ f_1,f_2,\cdots ,f_m \right\} F={f1,f2,⋯,fm}；
- 评价指标集 Z = { z 1 , z 2 , ⋯ , z n } Z=\left\{ z_1,z_2,\cdots ,z_n \right\} Z={z1,z2,⋯,zn}；
- 权重集 W = { w 1 , w 2 , ⋯ , w n } W=\left\{ w_1,w_2,\cdots ,w_n \right\} W={w1,w2,⋯,wn}；
- H 为由评价指标的具体数值构成的矩阵
H = [ u 11 u 12 ⋯ u 1 n u 21 u 22 ⋯ u 2 n ⋮ ⋮ ⋮ u m 1 u m 1 ⋯ u m n ] H=\left[ \begin{matrix} u_{11}& u_{12}& \cdots& u_{1n}\\ u_{21}& u_{22}& \cdots& u_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ u_{m1}& u_{m1}& \cdots& u_{mn}\\ \end{matrix} \right] H=⎣⎢⎢⎢⎡u11u21⋮um1u12u22⋮um1⋯⋯⋯u1nu2n⋮umn⎦⎥⎥⎥⎤
3.2 确定最优、最劣方案
从指标系统内部或者外部选定指标的最优、最劣值，构成最优方案 U U U 和最劣方案 V V V
U = ( u 1 , u 2 , ⋯ . u n ) ， V = ( v 1 , v 2 , ⋯ , v n ) U=\left( u_1,u_2,\cdots .u_n \right) \text{，}V=\left( v_1,v_2,\cdots ,v_n \right) U=(u1,u2,⋯.un)，V=(v1,v2,⋯,vn)
3.3 确定方案的联系度
对任一 k k k 区域，集对 [ F k , U ] [F_k,U] [Fk,U]在 [ U , V ] [U,V] [U,V]区间的联系度 μ ( F k , U ) \mu _{\left( F_k,U \right)} μ(Fk,U)为
μ ( F k , U ) = a k + b k i + c k j \mu _{\left( F_k,U \right)}=a_k+b_ki+c_kj μ(Fk,U)=ak+bki+ckj
式中 a k a_k ak 为该集对问题下的同一度； b k b_k bk 为该集对下的差异度； c k c_k ck 为该集对下的对立度。
其中，
a
k
=
∑
p
=
1
n
w
p
a
k
p
，
b
k
=
∑
p
=
1
n
w
p
b
k
p
，
c
k
=
∑
p
=
1
n
w
p
c
k
p
a_k=\sum_{p=1}^n{w_pa_{kp}}\text{，}b_k=\sum_{p=1}^n{w_pb_{kp}}\text{，}c_k=\sum_{p=1}^n{w_pc_{kp}}
ak=p=1∑nwpakp，bk=p=1∑nwpbkp，ck=p=1∑nwpckp
评价矩阵中的
u
k
p
u_{kp}
ukp 与
U
，
V
{U，V}
U，V 的同一度(
a
k
p
a_{kp}
akp ) 和对立度(
c
k
p
c_{kp}
ckp ) 的计算公式
加权联系度
μ k = ∑ j = 1 n w j μ ˉ j k \mu _k=\sum_{j=1}^n{w_j\bar{\mu}_{jk}} μk=j=1∑nwjμˉjk
式中： μ ˉ j k \bar{\mu}_{jk} μˉjk为各级指标的平均联系度； w j w_j wj 为其相应的权重。
3.4 相对贴近度计算方案排序
计算方案 F k F_k Fk 与最优方案 U U U的相对贴近度：
r k = a k a k + c k r_k=\frac{a_k}{a_k+c_k} rk=ak+ckak
其值越大，表示方案 F k F_k Fk 越接近最优方案 U U U，方案越好。
参考文献：
基于集对分析的水资源系统预测方法及其应用
基于集对分析的智慧城市发展评价体系研究
开放原子开发者工作坊旨在鼓励更多人参与开源活动，与志同道合的开发者们相互交流开发经验、分享开发心得、获取前沿技术趋势。工作坊有多种形式的开发者活动，如meetup、训练营等，主打技术交流，干货满满，真诚地邀请各位开发者共同参与！
更多推荐
16
0- 0
已为社区贡献11条内容
所有评论(0)