在做海量数据聚类分析（MiniBatch Kmeans）的时候，常常因为数据量太大画不出 dendrogram，没办法用 Elbow Method 确定 K 值。这时需要其他 metrics 辅助确定 K 值。在做聚类之前，一定要先做去重啊！

Calinski-Harbasz Score (CH指标)

Caliński, Tadeusz, and Jerzy Harabasz. “A dendrite method for cluster analysis.” Communications in Statistics-theory and Methods 3.1 (1974): 1-27.

• Calinski-Harbasz Score 是通过评估 类之间方差 和 类内方差 来计算得分，值越大效果越好。
  $$s=\frac{S{S}_B}{k-1}/\frac{S{S}_W}{N-k}=\frac{tr(B_k)}{tr(W_k)}\times \frac{N-k}{k-1}$$

• 其中，

  • $k$ 代表聚类类别数，$N$ 代表全部数据数目。
  • $S{S}_B$ 是类间方差，
  • $S{S}_W$ 是类内方差。
  • $B_k$ 为 between-clusters dispersion mean（类间距离），
  • $W_k$ 为 within-cluster dispersion（类内部的距离）

• 1) 计算$S{S}_B$
  ：
  $$S{S}_B=tr(B_k)$$
  其中，$B_k$ 的计算方式为
  $$B_k=\sum _{q=1}^k{n}_q(c_q-c_E)(c_q-c_E{)}^T$$
  trace 只考虑了矩阵对角上的元素，即 $q$ 中所有数据点到类的欧几里得距离。

  • $n_q$ 是类 $q$ 数据点的总数
  • $c_q$ 是类 $q$ 的质点
  • $c_E$ 是所有数据的中心点

• 2）计算$S{S}_W$
  ：
  $$S{S}_W=tr(W_k)$$
  其中，$W_k$的计算方式为
  $$W_k=\sum _{q=1}^k\sum _{x\in C_q}(x-c_q)(x-c_q{)}^T$$
  其中，

  • $C_q$ 是类 $q$ 中所有数据的集合
  • $c_q$ 是类 $q$ 的质点

Calinski-Harbasz Score的缺点

在实际使用的过程中，发现类别越少，Calinski-Harbasz Score的分数越高，当 k=2 时，分数达到最高。但是30w数据分成2类也太敷衍了吧（抓狂）！于是开始研究这个 metrics 到底在评估什么东西。结论，当上述情况发生的时候，需要一个个 K 值去测试，找到一个local maxium（局部最高）的分数，这个分数对应的K值就是当前最佳的分类。根据：Calinski-Harabasz Index and Boostrap Evaluation with Clustering Methods

Calinski-Harbasz Score 衡量分类情况和理想分类情况（类之间方差最大，类内方差最小）之间的区别，归一化因子$(N-k)/(k-1)$随着类别数 $k$ 的增加而减少，使得该方法更偏向于选择类别少的分类结果。

这导致了在实验中 K=2，往往得到很高的分数，但是这不是我们想要的结果。

这时，我们需要去找另一个局部最优的 $K$。即使找到的 $K$ 不是真正的分数最高，但是只要它们对应的得分显著高，我们都可以接受这样的值，如同梯度一样，我们有的时候并不能找到全局最优，但是局部最优的结果仍可以接受。

    for i in range(2, 20):
        y_pred = SpectralClustering(n_clusters=i, affinity='precomputed').fit_predict(data)
        print(f"n_clusters={i},Calinski-Harabasz Score: {metrics.calinski_harabasz_score(df_10min, y_pred)}")

结果如下图所示：（个人感觉，选取方法可以参考肘部法）

案例1

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import metrics
from sklearn.cluster import KMeans

dataframe = pd.DataFrame(data=np.random.randint(0, 50, size=(200, 10)))
# 以kmeans聚类方法为例
kmeans_model = KMeans(n_clusters=3, random_state=1).fit(dataframe)
labels = kmeans_model.labels_
score = metrics.calinski_harabasz_score(dataframe, labels)
print(score)

sklearn.metrics.calinski_harabasz_score(X, labels)

案例2

这里我们用一个例子讲述下SpectralClustering的聚类。我们选择最常用的高斯核来建立相似矩阵，用K-Means来做最后的聚类。

完整代码参见github地址:

首先我们生成 500 个 6 维的数据集，分为 5 个簇。由于是 6 维，这里就不可视化了，代码如下：

import numpy as np
from sklearn import datasets
X, y = datasets.make_blobs(n_samples=500, n_features=6, centers=5, cluster_std=[0.4, 0.3, 0.4, 0.3, 0.4], random_state=11)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], marker='o')
plt.show()

接着我们看看默认的谱聚类的效果：

from sklearn.cluster import SpectralClustering
y_pred = SpectralClustering().fit_predict(X)
from sklearn import metrics
print("Calinski-Harabasz Score", metrics.calinski_harabasz_score(X, y_pred))
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_pred, marker='.')
plt.show()

输出的Calinski-Harabasz分数为：

Calinski-Harabasz Score 14908.9325026

由于我们使用的是高斯核，那么我们一般需要对n_clusters和gamma进行调参。选择合适的参数值。代码如下：

for index, gamma in enumerate((0.01,0.1,1,10)):
    for index2, k in enumerate((3,4,5,6)):
        y_pred = SpectralClustering(n_clusters=k, gamma=gamma).fit_predict(X)
        print("Calinski-Harabasz Score with gamma=", gamma, "n_clusters=", k,"score:", metrics.calinski_harabasz_score(X, y_pred))

输出如下：

Calinski-Harabasz Score with gamma= 0.01 n_clusters= 3 score: 1979.77096092
Calinski-Harabasz Score with gamma= 0.01 n_clusters= 4 score: 3154.01841219
Calinski-Harabasz Score with gamma= 0.01 n_clusters= 5 score: 23410.63895
Calinski-Harabasz Score with gamma= 0.01 n_clusters= 6 score: 19303.7340877
Calinski-Harabasz Score with gamma= 0.1 n_clusters= 3 score: 1979.77096092
Calinski-Harabasz Score with gamma= 0.1 n_clusters= 4 score: 3154.01841219
Calinski-Harabasz Score with gamma= 0.1 n_clusters= 5 score: 23410.63895
Calinski-Harabasz Score with gamma= 0.1 n_clusters= 6 score: 19427.9618944
Calinski-Harabasz Score with gamma= 1 n_clusters= 3 score: 687.787319232
Calinski-Harabasz Score with gamma= 1 n_clusters= 4 score: 196.926294549
Calinski-Harabasz Score with gamma= 1 n_clusters= 5 score: 23410.63895
Calinski-Harabasz Score with gamma= 1 n_clusters= 6 score: 19384.9657724
Calinski-Harabasz Score with gamma= 10 n_clusters= 3 score: 43.8197355672
Calinski-Harabasz Score with gamma= 10 n_clusters= 4 score: 35.2149370067
Calinski-Harabasz Score with gamma= 10 n_clusters= 5 score: 29.1784898767
Calinski-Harabasz Score with gamma= 10 n_clusters= 6 score: 47.3799111856

可见最好的 n_clusters 是 5，而最好的高斯核参数是 1 或者 0.1.

我们可以看看不输入可选的 n_clusters 的时候，仅仅用最优的 gamma 为 0.1 时候的聚类效果，代码如下：

y_pred = SpectralClustering(n_clusters=5, gamma=0.1).fit_predict(X)
print("Calinski-Harabasz Score", metrics.calinski_harabasz_score(X, y_pred))
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_pred, marker='.')
plt.show()

输出为：

Calinski-Harabasz Score 14950.4939717

可见 n_clusters 一般还是调参选择比较好。

参考资料
[1] https://blog.csdn.net/chloe_ou/article/details/105277431
[2] https://blog.csdn.net/weixin_35757704/article/details/117549099