摘要 演化博弈的通俗理解、相关推导和复制动态方程的引入过程，和鹰鸽博弈的仿真。

概念

• 本文统一采用参考链接[2]的符号表示。
• $E(A,B)$表示对手采用$B$策略而自己采用$A$的收益，简写作$A$对$B$的收益。
• NE表示纳什均衡，ES表示演化稳定。

  演化博弈的通俗理解是，有个包含无穷数量个体的群体，有一些策略可以供每个个体选择，例如策略A和策略B。每个个体一开始不知道如何选择策略（即有限理性），所以随机选择策略并与其它个体博弈，失败的个体被淘汰，获胜的个体选择的策略被称作优势策略并得到保留。个体之间重复进行博弈，优势策略的占比越来越高，直到所有个体都选择了优势策略。
  一般来说优势策略都是混合策略，也就是以多大的概率选择A策略和以多大的概率选择B策略，完全选A或选B都是相对劣势的策略。多次博弈后选择两个策略的概率会逐渐保持不变，这时就称作达到了演化稳定状态。
  文末列出了可供参考的更详细完整的资料。建议先看参考资料[1]（博弈论公开课）的博弈论课程，可以直接从第11讲开始看。参考链接[2]是关于演化博弈非常经典的一本书。参考链接[5]涵盖内容比较完整，关于演化博弈的各个方面都涉及到了。

收益矩阵

（下面表格来自参考文献[6]）

	$C$	$D$
$C$	$r$	$s$
$D$	$t$	$p$

	Cooperation	Defection
Cooperation	Reward	Sucker
Defection	Temptation	Punishment

  其中$r=E(C,C)$表示双方均采用C(合作)策略的收益，$p=E(D,D)$表示双方均采用D(背叛)策略的收益，$s=E(C,D)$表示对方采用D策略而己方采用C策略的收益，$t=E(D,C)$表示对方采用C策略而己方采用D策略的收益。收益矩阵还有一种表示法，这种表示法可能更常见一点：

	$C$	$D$
$C$	$r,r$	$s,t$
$D$	$t,s$	$p,p$

演化稳定

  下面两个定义出自参考链接[1]。
定义1(来自Maynard Smith的生物学定义)
  在一个双参与人的对称博弈中，策略$\hat{S}$是演化稳定策略当且仅当存在一个$\overline{ϵ}>0$，
$$(1-ϵ)E(\hat{S},\hat{S})+ϵE(\hat{S},S^{\prime })>(1-ϵ)E(S^{\prime },\hat{S})+ϵE(S^{\prime },S^{\prime })$$
对于任意偏离$\hat{S}$的策略$S^{\prime }$都成立，且对任意$ϵ<\overline{ϵ}$都成立。
上面式子的意思是，$1-ϵ$的概率下对$\hat{S}$策略采用$\hat{S}$策略加上$ϵ$的概率下对$S^{\prime }$策略采用$\hat{S}$的收益严格大于。。。的收益。
定义2(经济学定义)
  在一个双参与人的对称博弈中，策略$\hat{S}$是演化稳定策略需满足下面两个条件：
条件1：$(S^{\prime },S^{\prime })$是(对称)纳什均衡，即$E(\hat{S},\hat{S})\ge E(S^{\prime },\hat{S})$；
条件2：如果$E(\hat{S},\hat{S})=E(S^{\prime },\hat{S})$，那么$E(\hat{S},S^{\prime })>E(S^{\prime },S^{\prime })$。
两个定义的关系
  参考链接[1]表示两个定义完全等价，定义1较为严谨，定义2更方便使用。

对称博弈

  直观理解就是收益跟玩家无关，即收益矩阵

	$C$	$D$
$C$	$r_1,r_2$	$s_1,t_1$
$D$	$t_2,s_2$	$p_1,p_2$

中，下标不同的收益不同。
（参考链接[1]公开课中第11集的1:05:30处老师犯了个错误，弹幕里提到了对称博弈我觉得也不对，不知道哪有问题）一个应该是非对称博弈的例子 为啥散户炒股票总赔钱? -bilibili 应该是零和博弈。

Bishop定理

该定理的进一步解释见参考链接[2]《演化与博弈论》。
如果$\hat{S}$是一个由纯策略$A,B,C,\cdots$组成的混合演化稳定策略，那么
$$E(A,\hat{S})=E(B,\hat{S})=E(C,\hat{S})=\cdots =E(\hat{S},\hat{S})$$

懦夫博弈与混合策略

  关于懦夫博弈更详细的说明见 懦夫博弈 -百度百科。
  下面收益矩阵中的具体取值出自参考链接[1]。

	A	B
A	0	2
B	1	0

其中$A$策略表示强势，$B$策略表示弱势，$E(A,A)=0,E(A,B)=2,E(B,A)=1,E(B,B)=0$。根据定义2可得出，两个策略均不是演化稳定策略。演化稳定策略是一个混合策略，用$\hat{S}$表示，$\hat{S}=\frac{2}{3}A+\frac{1}{3}B$。设突变策略$S^{\prime }=kA+(1-k)B$，列出收益矩阵计算收益(以$E(S^{\prime },\hat{S})$为例)

	$\frac{2}{3}A$	$\frac{1}{3}B$
$kA$	0	2
$(1-k)B$	1	0

可以计算出
$$\begin{array}{rl}& E(\hat{S},\hat{S})=2\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\\ & E(S^{\prime },\hat{S})=2\cdot k\cdot \frac{1}{3}+1\cdot (1-k)\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\\ & E(\hat{S},S^{\prime })=2\cdot \frac{2}{3}\cdot (1-k)+1\cdot \frac{1}{3}\cdot k=\frac{4}{3}-k\\ & E(S^{\prime },S^{\prime })=2\cdot k\cdot (1-k)+1\cdot (1-k)\cdot k=3k(1-k)\end{array}$$
最后得到两个策略$\hat{S}$和$S^{\prime }$的收益矩阵为

	$\hat{S}$	$S^{\prime }$
$\hat{S}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{3}-k$
$S^{\prime }$	$\frac{2}{3}$	$3k(1-k)$

由演化稳定定义2，$E(\hat{S},\hat{S})=E(S^{\prime },\hat{S})$，但可以计算出，$E(\hat{S},S^{\prime })>E(S^{\prime },S^{\prime })$，所以$E(\hat{S}$是演化稳定策略。
  最后，由Bishop定理可求出（验证）演化稳定策略$\hat{S}$中的$k$值：
$$\begin{array}{rl}& E(A,\hat{S})=2(1-k)\\ & E(B,\hat{S})=k\\ & 2(1-k)=k,k=\frac{2}{3}\end{array}$$

补充一个例子 博弈的相关均衡 -知乎

	A	B
A	(6,6)	(2,7)
B	(7,2)	(0,0)

这是一个对称博弈，可以尝试用Bishop定理，设混合策略S中选择策略A和B的概率分别为$k$和$1-k$，则
$$\begin{array}{rl}& E(A,S)=6k+2(1-k)\\ & E(B,S)=7k\end{array}$$
由 $E(A,S)=E(B,S)$ 解得 $k=2/3$，$E(A,S)=E(B,S)=14/3$，确实小于相关均衡的收益5。

鹰鸽博弈

  假设同一物种的两个竞争对手在某个价值为$G$的资源位置相遇，有两个纯策略：

1. 鹰策略：你总是升级冲突，直到对方退出，或者你受到严重伤害。
2. 鸽策略：你保持姿态直到对方退出，但如果对方升级冲突或看起来太强，你就退出。

(此处更详细的说明见 鹰派与鸽派的博弈 -豆瓣)
  收益矩阵

	H	D
H	$\frac{V-C}{2}$	V
D	0	$\frac{V}{2}$

其中需要满足 $V<C$，否则纯策略$H$就是ESS。使用同样的方法计算ESS，设$\hat{S}=kH+(1-k)D$，
$$\begin{array}{rl}E(H,\hat{S})=& \frac{V-C}{2}k+(1-k)V\\ E(D,\hat{S})=& (1-k)\frac{V}{2}\end{array}$$
令 $E(H,\hat{S})=E(D,\hat{S})$，可解得 $k=\frac{V}{C}$，代入得
$$\begin{gathered} E(H,\hat{S})=E(D,\hat{S})=\frac{V(C-V)}{2C} \\ E(\hat{S},\hat{S})=k^2\frac{V-C}{2}+k(1-k)V+(1-k{)}^2\frac{V}{2}=\frac{V(C-V)}{2C} \end{gathered}$$

复制动态方程

关于复制动态方程的进一步解释见参考链接[5]。[2]中的解释不太清晰，虽然用的是[2]中的符号表示。
定义两个策略的适应度$W_H$和$W_D$和种群的平均适应度$\bar{W}$分别为
$$\begin{gathered} W_H=W_0+pE(H,H)+(1-p)E(H,D) \\ {W}_D=W_0+pE(D,H)+(1-p)E(D,D) \\ \bar{W}=p{W}_H+(1-p)W_D \end{gathered}$$
其中$W_0$代表个体在博弈之前的基础适应度(?)。可以看出$pE(H,H)+(1-p)E(H,D)=E(H,S)$，其中$S=pH+(1-p)D$是混合策略（不知道$E(H,S)$和$W_H$之间有什么关系）。下一代中采取$H$策略的比例为
$$p_{n+1}=p_n\frac{W_H}{\bar{W}}$$
若定义$q=(1-p)$，且
$$q_{n+1}=q_n\frac{W_D}{\bar{W}}$$
可验证
$$p_{n+1}+q_{n+1}=\frac{p_n{W}_H+q_n{W}_D}{\bar{W}}=1$$
由递推关系推导出复制动态方程
$$\begin{array}{rl}\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=& p_{n+1}-p_n=p\frac{W_H-\bar{W}}{\bar{W}}\\ =& p\frac{W_H-(p{W}_H+(1-p)W_D)}{p{W}_H+(1-p)W_D}\\ =& \frac{p(1-p)(W_H-W_D)}{W_H-(1-p)(W_H-W_D)}\end{array}$$
这里不知道推导过程哪里有问题，正确的复制动态方程应该是
$$\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=p(W_H-\bar{W})$$

仿真

取$W_0=0$，$C=6$，$V=3$，仿真结果如图所示。

另外仿真可得$W_0$对结果几乎没有影响，复制动态方程中的分母$\bar{W}$只影响曲线收敛的速度。

参考

1. 【公开课】耶鲁大学：博弈论（中英双语字幕）-bilibili
2. 约翰·梅纳德·史密斯(John Maynard Smith).《演化与博弈论》(Evolution and the Theory of Games)
3. 鹰派与鸽派的博弈 -豆瓣
4. https://www.cs.rug.nl/~michael/teaching/gametheorysheets.pdf
5. Evolutionary Game Theory -Stanford Encyclopedia of Philosophy
6. 李巧宇.基于演化博弈理论的自组织任务分配动力学研究[D].南开大学.2019.
7. 懦夫博弈 -百度百科
8. https://www.cs.cmu.edu/~sandholm/cs15-892F13/algorithmic-game-theory.pdf

附代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
V = 3
C = 6
W0 = 0
EHH = (V-C)/2.0
EHD = V
EDH = 0
EDD = V/2.0
p = 1e-3
pvec = []
WBarvec = []
for n in range(100):
    wH = W0 + p*EHH + (1-p)*EHD
    wD = W0 + p*EDH + (1-p)*EDD
    WBar = p*wH + (1-p)*wD
    p += 0.1 * p*(wH - WBar)
    pvec.append(p)
    WBarvec.append(WBar)
plt.plot(pvec)
plt.plot(WBarvec)
plt.legend(['p', 'wBar'])
plt.show()