问题简介

输入：n种物品和一个背包

物品i的重量是wi，价值为vi

背包的容量是C

输出：装入背包的物品

优化目标是：装入背包的物品总价值最大

优化子结构

设（x1,x2,x3…xn）是0-1背包问题的一个最优解。

如果x1=1，那么（x2,x3,x4,x5…xn）是以下子问题的最优解：

如果x1 =0：则 (x2, …, xn) 是以下子问题的最优解

递归关系

设m(i, j)为背包问题的最优值，这里背包容量为j，可选物品为i, i+1, …, n，

有如下递归关系：

如果i<n时

i=n时

优化子结构

表格举例

给出如下三个物品，背包容量为5：

构造下列表格：

其中m[i][j]表示放入0-i的物品，背包容量为j的价值。

现在考虑放入id为0的物品，因为物品重量为1，所以在背包容量为0时无法放入，其他情况下都可以放入物品0，所以表格变为：

第二行时，要考虑放入0，1两个物品了，所以需要用到我们的迭代公式，

例如m[1][0],此时的背包容量为0，则什么都放不下为0，

而m[1][1]时，j<w1(物品1的重量为2)，所以此时m[1][1]=m[0][1]=6;

再例如m[1][2]时，j>w1,此时m[1][2]=max{m[0][2],m[0][0]+v2}=max{6,0+10}=10

按照这个理论挨个填写，得到结果如下：

此时的m[2][5]是最佳的价值，但是如何求出最优解呢？

我们回顾m[2][5]的得到过程，m[2][5]=m[1][2]+v2=m[0][0]+v1=v1+v2,因此最佳解为放入物品1和物品2。

具体在算法中如何实现呢?我们选择利用上述的二维数组进行逆推，从最大可装入价值处逆推。

最大可装入价值处容量为5，减去最后放入的物品2的重量，得到5-3=2，我们跳转到去掉物品2，容量为2处，也就是m[1][2]处，此时装入了物品1，而1的重量为2，去掉物品1，和容量2，剩下m[0][0]，此时容量已经变为0，算法结束，也就是装入了物品1和物品2。

具体代码如下：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#define N 6		//物品的个数
#define W 21	//背包容量

int B[N][W] = { 0 };
int w[6] = { 0,2,3,4,5,9 };	//物品重量
int v[6] = { 0,3,4,5,8,10 };//物品价值

void knapsack()
{
	int k;	//第K个物品
	int C;	//背包剩余重量

	//填表
	for (k = 1; k < N; k++)
	{
		for (C = 1; C < W; C++)
		{
			if (w[k] > C)								//第k件物品放不进去 此时背包的价值 = 判断完上一件物品之后背包的价值
			{
				B[k][C] = B[k - 1][C];
			}
			else
			{
				int value1 = B[k - 1][C - w[k]] + v[k];	//放入第k件物品后 背包总价值 = 先给这件物品留出空间，剩余的背包大小能装进的最大价值 + 这件物品的价值
				int value2 = B[k - 1][C];				//不放入第k件物品 背包总价值 = 不用给这件物品留出空间，当前背包大小能装进的最大价值(就是判断完上一件物品之后背包的价值)

				if (value1 > value2)
				{
					B[k][C] = value1;
				}
				else
				{
					B[k][C] = value2;
					if (value1 < value2)printf("k=%d C=%d\n", k, C);
				}
			}
		}
	}
}
int main()
{
	knapsack();
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < W; j++)
		{
			printf("%4d ", B[i][j]);
		}
		printf("\n\n");
	}
	system("pause");
}

（代码摘自：https://hanquan.blog.csdn.net/article/details/89456491）