一、什么是整数划分

• 所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：$n=m_1+m_2+\cdot \cdot \cdot +m_i$；
  其中$m_i$为正整数，并且$1\le m_i\le n$，则 { m 1 , m 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , m i } \{m_1,m_2,···,m_i\} {m1​,m2​,⋅⋅⋅,mi​}为n的一个划分。

• 如果 { m 1 , m 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , m i } \{m_1,m_2,···,m_i\} {m1​,m2​,⋅⋅⋅,mi​}中的最大值不超过m，即$max(m_1,m_2,\dots ,m_i)\le m$，则称它属于n的一个m划分。

• 例如：当n=4时，它有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
  　　注意4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

• 整数划分问题就是求出 n 的所有划分个数。

二、递归算法实现

1. 设计递归方程

思考：根据n和m的关系，有以下几种情况：（引用“百度百科”）

1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1}；
2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1}；
3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
   1. 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
   2. 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
   3. 因此$f(n,n)=1+f(n,n-1)$。
4. 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于$f(n,n)$；
5. 当n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
   1. 划分中包含m的情况，即 { m , { x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x i } } \{m,\{x_1,x_2,···,x_i\}\} {m,{x1​,x2​,⋅⋅⋅,xi​}}，其中 { x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x i } \{x_1,x_2,···,x_i\} {x1​,x2​,⋅⋅⋅,xi​}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分的个数为$f(n-m,m)$；
   2. 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为$f(n,m-1)$；
   3. 因此$f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1)$。

综上所述：
$$\{\begin{array}{ll}f(n,m)=1& n=1||m=1\\ f(n,n)& n<m\\ 1+f(n,m-1)& n=m\\ f(n-m,m)+f(n,m-1)& n>m\end{array}$$

2. 编写程序代码

此程序不仅计算了划分个数，而且输出打印了所有的划分形式（移除show()函数可移除此功能）。
注：show()函数曾借鉴学习于一位博主，但是找不到这位了qaq。

// 整数划分的递归实现算法
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int int_HuaFen(int n, int m);
void show(int n, int m, string s);

int main()
{
    string s; // 用于展示所有整数划分形式
    int n = 1; // 用于整数划分的整数

    cout << "请输入一个正整数进行整数划分：";
    cin >> n;

    cout << "全部划分为：" << endl;
    show(n, n, s);

    cout << "划分数为：" << int_HuaFen(n, n) << endl;

    return 0;
}

// 递归计算划分数
int int_HuaFen(int n, int m)
{
    if (n == 1 || m == 1)
        return 1;
    else if (n < m)
        return int_HuaFen(n, n);
    else if (n == m)
        return 1 + int_HuaFen(n, n - 1);
    else
        return int_HuaFen(n, m - 1) + int_HuaFen(n - m, m);
}

// 递归展示所有划分形式
void show(int n, int m, string s) {
    if (n == 1 || m == 1) {
        for (int i = 0; i < n - 1; i++)
            s += string("1+");
        cout << s << "1\n";
        return;
    }else if (m > n) {
        return show(n, n, s);
    }else if (n == m) {
        cout << s << n << endl;
        return show(n, m - 1, s);
    }
    if (n - m != 0)
        show(n - m, m, s + to_string(m) + string("+"));
    else
        cout << s << m << endl;
    show(n, m - 1, s);
}

3. 运行结果展示

三、友情链接~

• 其它一些常见算法请参阅此链接~

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最后，非常欢迎大家来讨论指正哦！