1、拉氏变换定义

拉氏变换是工程数学中常用的一种积分变换，用于线性连续系统中（在离散系统中用Z变换），可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。公式如下：

$F_{(s)}={\int }_0^{\infty }{f}_{(t)}\ast e^{-ts}dt$

2、拉氏变换的意义和作用

为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。

拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。

3、拉氏变换重要定理

线性性质	$L\left[a{f}_1(t)\pm b{f}_2(t)\right]=a{F}_1(s)\pm b{F}_2(s)$
微分定理	$L\left[f^{{}^{\prime }}(t)\right]=s\ast F(s)-f_0$
积分定理	$L\left[\int f(t)dt\right]=\frac{1}{s}\ast F(s)+\frac{1}{s}{f}^{-1}(0)$
实位移定理	$L\left[f(t-{\tau }_0)\right]=e^{-\tau s}\ast F(s)$
复位移定理	$L\left[e^{At}f(t)\right]=F(s-A)$
初值定理	${\lim }_{t\to 0}f(t)={\lim }_{s\to \infty }s\ast F(s)$
终值定理	${\lim }_{t\to \infty }f(t)={\lim }_{s\to 0}s\ast F(s)$

4、常见函数的拉氏变换

常见函数	$f_{(t)}$	$F_{(s)}$
单位脉冲	${\delta }_{(t)}$	1
单位阶跃	$1_{(t)}$	$\frac{1}{s}$
单位斜坡	$t$	$\frac{1}{s^2}$
单位加速度	$\frac{t^2}{2}$	$\frac{1}{s^3}$
指数函数	$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$
正弦函数	$sin(\omega t)$	$\frac{w}{s^2+w^2}$
余弦函数	$cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^2+w^2}$

5、拉氏变换求解微分方程的应用

过程分析

1. 列出系统的微分方程；
2. 拉氏变换转换到复数域；
3. 求解传递函数；
4. 反拉氏变换到时域；