1 理论

1.1 两个正态分布之和为正态分布




1.2 均匀分布相减

$$\begin{array}{lc}{x}_1& \sim U(0,1)\\ x_2& \sim U(0,1)\\ z& =x_1-x_2\end{array}$$

概率密度函数不再是均匀分布,会是三角形或者梯形。
易知， z 的取值范围是，-1到1。
f z ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( z + x 2 ) f ( x 2 ) d x 2 = ∫ 0 1 f ( z + x 2 ) d x 2 = t = z + x 2 ∫ 0 1 f ( t ) d ( t − z ) = ∫ z z + 1 f ( t ) d t = { 1 + z − 1 < z < 0 1 − z 0 < z < 1 \begin{aligned} f_z(z) &=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(z+x_{2}\right) f\left(x_{2}\right) d x_{2} \\ &=\int_{0}^{1} f\left(z+x_{2}\right) d x_{2} \\ &\overset{t=z+x_{2}}{=} \int_{0}^{1} f(t) d(t-z) \\ &=\int_{z}^{z+1} f(t) dt \\ &= \{\begin{array}{ll}{1+z} & {-1<z<0} \\ {1-z} & {0<z<1}\end{array} \end{aligned} fz​(z)​=∫−∞∞​f(z+x2​)f(x2​)dx2​=∫01​f(z+x2​)dx2​=t=z+x2​∫01​f(t)d(t−z)=∫zz+1​f(t)dt={1+z1−z​−1<z<00<z<1​​
这里解释下， $f(\cdot )$可看做$f_x(\cdot )$, 是x1, x2 概率密度函数，在（0，1）区间值为0； 在其他区间取值0。

2 实践

2.1 两个正态分布和为正态分布

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n1 = 4*np.random.normal(size=3000)
n2 = 3*np.random.normal(size=3000)-1
n_sum = n1 + n2
print('n_1 mean:{:.3}'.format(np.mean(n1)))
print('n_1 std:{:.3}'.format( np.std(n1)))
print('n_2 mean:{:.3}'.format(np.mean(n2)))
print('n_2 std:{:.3}'.format( np.std(n2)))
print('n_sum mean:{:.3}'.format( np.mean(n_sum)))
print('n_sum std:{:.3}'.format( np.std(n_sum)))
plt.hist(n1, bins = 50)
plt.show()
plt.hist(n_sum,bins = 100)
plt.show()

结果：

n_1 mean:-0.0118
n_1 std:3.98
n_2 mean:-0.948
n_2 std:2.96
n_sum mean:-0.96
n_sum std:4.95

2.2 均匀分布如何生成一个标准正态分布？
其实从熵增原理也可以解释为什么均匀分布的叠加是高斯分布了。
比如，有两颗硬币，同时抛，会有三种情况（不考虑硬币1，2的区别）：1（正正）2（正负）1（负负）。
抛的更多，会往概率大的方向进行，就是熵增。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#-1~1 uniform
u = 2*np.random.uniform(size=30000)-1
normal_rv = [300 * np.mean(2*np.random.uniform(size=30000)-1) for i in range(10000)]
print(np.mean(normal_rv))
print(np.std(normal_rv))
plt.hist(u, bins = 50)
plt.show()
plt.hist(normal_rv,bins = 100)
plt.show()

2.3 两个均匀分布叠加

两个均匀分布相加减，概率密度曲线是梯形/三角形；

#两个均匀分布相减
u1 = np.random.uniform(size = 300000) 
u2 = 2*np.random.uniform(size = 300000) - 1
#u = u1*u2
#u = u1+u2
u = u2 - u1
plt.hist(u, bins = 500)
plt.show()

#两个均匀分布相减
u1 = np.random.uniform(size = 300000) 
u2 = np.random.uniform(size = 300000) 
#u = u1*u2
#u = u1+u2
u = u2 - u1
plt.hist(u, bins = 500)
plt.show()

结果：

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reference：

1. SofaSofa 均匀分布生成正态分布；
2. 正态分布随机变量的和还是正态分布吗？;
3. 独立分布随机变量X1、X2服从N(0, 1)，求max(X1, X2)的期望？;