用MATLAB画三维向量

        前两天，我在写Gram-Schmidt正交化的文章时，想到最好用matlab把还没有经过正交化计算的原始向量，和已经经过正交化处理后的正交基，在三维坐标系中，用图像的方式表示出来。这样可以更加直观的看到向量与向量之间的“垂直”，而不是通过计算向量之间的内积去证明他们“正交”。

        事实上，我之前多次有过在三维坐标系中作图的需求，一直也没有找到非常合适的。比如说，在三维坐标系中画一个点，等。这一次，我在画三维向量的时候，无意中找到了一个函数quiver3()，他可以实现在三维坐标系中画一个或多个三维向量的问题。

1，首先，我们用quiver3函数画一个向量v=[1，2，8]

先定义向量的坐标原点为[0,0,0]

X=[0];
Y=[0];
Z=[0];

定义一个三维向量

U=[1];
V=[2];
W=[8];

画图

figure;
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)

其中，“W”后面的参数“0”，表示的是对图像中向量长度的缩放（只能是一个正整数，例如2，这就是说，图像中向量的长度是实际向量长度的两倍），也就是上面语法中的Scale。一般情况下，如果你不输入scale参数，例如，直接使用quiver3(X,Y,Z,U,V,W)，为了美化图像matlab会自动对向量的长度进行适当的缩放。所以，要想在图像中“按照一比一的比例”画出我们输入的向量，我们应该把scale参数关掉，关掉的方法就是令scale=0，即off。(默认为auto)

"LineWidth"表示图画中线的宽度，一般不用可以去设置，我这里写的1，是为了看的更清楚，默认值可能是0.5或者0.7吧，反正没有1粗。

最终得到如下图像，为了显示scale=0的效果，我把默认值scale=auto的图像也给出来了。

向量[1，2，8]在x-y平面的投影图

 向量[1，2，8]在x-z平面的投影图

        从上面的比较图可以看出，当scale=0，也就是auto scale为off时（上图右边）。向量在x,y,z各个方向的长度都和我们实际输入的一致，但如果是auto scale(上图左边)，可以看到向量的长度相对于右图会有一定比例的缩小。

这是matlab官方文档中，对“Scale”参数的说明和部分图示：

最后输入：

axis equal

        他让每个坐标轴都使用统一标准的刻度尺去绘图，这也就是说，matlab在用quiver3去画向量图的时候，他也默认对坐标轴进行了不同程度的缩放，以至于，本例中的向量[1，2，8]，在图中看起来，箭头在x,y,z三个方向的长度都差不多。在z方向的比例尺为0，2，4，6，8(红色)，x轴的比例尺为0，0.2，0.4，0.6，0.8，1(黄色)，在y轴方向的比例尺为0，0.5，1，1.5，2(蓝色)。

 输入axis equal后，因为，向量在x,y,z各轴，都使用同一尺寸的标准刻度，因为，向量[1，2，8]的方向也会非常精准，如下图所示。

2，我们用quiver3函数画2个向量v1=[1,1,1],v2=[1,3,5]

        一样，先分别定义两个向量的坐标原点[0,0,0]，其中X,Y,Z中的第一个元素表示的是第一个向量v1的起始坐标，第二个元素是第二个向量v2的起始坐标。

X=[0,0];
Y=[0,0];
Z=[0,0];

        其次，输入两个向量v1,v2，同样，v1中的三个值，被分别存放在U,V,W的第一个元素中，v2中的三个值则放在U,V,W的第二个元素中。

U=[1,1];
V=[1,3];
W=[1,5];

画图 

figure;
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)
legend('v1,v2','Location','northwest')

        其中，函数legend()用于给图像配上说明文字。如果要在图中把两个向量区别开，并用不同颜色来表示，则要像之前画单个向量的方法一个个的画。

X=[0];
Y=[0];
Z=[0];
U=[1];
V=[1];
W=[1];

quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)
axis equal
hold on

U=[1];
V=[3];
W=[5];
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)
axis equal
legend('v1','v2','Location','northwest')

两个的向量的颜色也可以通过参数color单独指定，‘r’为红色，‘k’为黑色：

X=[0];
Y=[0];
Z=[0];
U=[1];
V=[1];
W=[1];

quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1,'Color','r')
axis equal
hold on

U=[1];
V=[3];
W=[5];
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1,'Color','k')
axis equal
legend('v1','v2','Location','northwest')

如果想用其他的自定义颜色，可参考如下说明：

3，用quiver3画多组向量，并用不同颜色来表示

%plot b
X=[0];
Y=[0];
Z=[0];
U=[1];
V=[3];
W=[5];
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)
axis equal

%plot x,y,z
X=[0,0,0];
Y=[0,0,0];
Z=[0,0,0];
U=[1,0,0];
V=[0,1,0];
W=[0,0,1];
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)
axis equal

%plot projection of b
X=[0];
Y=[0];
Z=[0];
U=[1];
V=[3];
W=[0];
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)
axis equal

legend('vector b','x,y,z','projection','Location','northwest')

如图，我在同一副图中画了三组向量:

1，向量b，

2，x-y-z轴上的单位向量

3，向量b在x-y平面上的投影。 

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（全文完）

作者 --- 松下J27

参考文献(鸣谢)：

1，三维箭头图或向量图 - MATLAB quiver3- MathWorks 中国

（配图与本文无关）

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