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L1 loss

L1 loss常用别称：

• L1范数损失
• 最小绝对偏差（LAD）
• 平均绝对值误差（MAE）
  
  其中，yi是真实值，f(xi)是预测值，n是样本点个数

优缺点？

• 优点：无论对于什么样的输入值，都有着稳定的梯度，不会导致梯度爆炸问题，具有较为稳健性的解
• 缺点：在中心点是折点，不能求导，梯度下降时要是恰好学习到w=0就没法接着进行了

什么时候使用？

1. 回归任务
2. 简单模型
3. 神经网络通常比较复杂，直接使用L1 loss作为损失函数的非常少

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L2 loss

L2 loss常用别称：

• L2范数损失
• 最小均方误差（LSE）
• 均方误差（MSE）
  
  其中，yi是真实值，f(xi)是预测值，n是样本点个数

优缺点？

• 优点：各点都连续光滑，方便求导，具有较为稳定的解
• 缺点：不是特别的稳健，因为当函数的输入值距离真实值较远的时候，对应loss值很大在两侧，则使用梯度下降法求解的时候梯度很大，可能导致梯度爆炸

什么时候使用？

1. 回归任务
2. 数值特征不大（防止loss太大，继而引起梯度大，梯度爆炸）
3. 问题维度不高（loss本身比较简单，高纬度的还是得要更复杂的loss支撑）

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Smooth L1 loss

平滑版的L1 loss

分析一下，当预测值f(xi)和真实值yi差别较小的时候（绝对值差小于1），其实使用的是L2 loss；差别大的时候，使用的是L1 loss的平移。因此，Smooth L1 loss其实是L1 loss 和L2 loss的结合，同时拥有两者的部分优点：

1. 真实值和预测值差别较小时（绝对值差小于1），梯度也会比较小（损失函数比普通L1 loss在此处更圆滑）
2. 真实值和预测值差别较大时，梯度值足够小（普通L2 loss在这种位置梯度值就很大，容易梯度爆炸）
   

什么时候使用？

1. 回归任务
2. 特征中有较大数值
3. 适合大多数问题（用的最多！）

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三者区别

（1）L1 loss在零点不平滑，此处不可导，所以在w=0时没法接着梯度下降了，用的少
（2）L2 loss对离群点比较敏感，离群点处的梯度很大，容易梯度爆炸
（3）smooth L1 loss结合了L1和L2的优点，修改了零点不平滑问题，且比L2 loss对异常值的鲁棒性更强

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常见问题解释

一、L1 loss、L1正则、L1范数有何区别？

L1范数：

L1 loss和L1 正则都使用了L1范数，L1 loss是指对预测值和真实值的差值使用L1范数计算生成的一个损失函数；L1正则是指损失函数之后单独加了一项，这一项是对所有的权重参数w进行L1范数的运算。

两者只是使用了同一种运算方式，但并不是同一个东西，L2同理（注意，L2正则项是L2范数的平方）。

二、L1正则为何会引起特征稀疏？

因为L1正则会使得大部分无用特征的权重被置0，这源于公式特性，解释如下：

（1）这是一个L2 loss加上一个L1正则或L2正则

（2）梯度下降法优化时，会这样更新参数

（3）对参数w求导

（4）下面是L1正则、L2正则的原函数图像和求导之后的函数图像


（5）先看L1的，在梯度更新时，无论L1的大小是多少，梯度都是1或者-1，所以每次更新时，它都是固定步长向0前进

（6）再看L2，梯度越靠近0，就会越小

（7）也就是说加了L1正则后，经过一定学习步数后w是有可能变为0的，而L2不可能，因为w = w - αw，每次都是减去的原始w的一个比例，永远不会减到0。L1正则中由于很多无用的w可能变为0，则乘上对应位置特征后，对应位置特征也变成0。

因此说L1会造成特征稀疏！