八数码问题

1. 题目介绍

八数码问题描述为：在 3×3 组成的九宫格棋盘上，摆有 8 张牌，每张牌都刻有 1-8 中的某一个数码。棋盘中留有一个空格，允许其周围的某张牌向空格移动，这样通过移动牌就可以不断改变棋盘布局。这种游戏求解的问题是：给定一种初始的棋盘布局或结构（初始状态）和一个目标的布局（称目标状态），问如何移动牌，实现从初始状态到目标状态的转变。

例如如下的棋盘要求将初始状态移动到目标状态：

传统的解题方法包含深度优先搜索和广度优先搜索。但这会带来一个问题，即搜索是盲目的，没有根据当前棋盘的布局来动态地调整下一步搜索的策略。为此我们定义了启发式搜索算法（A* 算法），它会提取出当前棋盘的一些特征，来最优地选择下一次要搜索的方向。

对于八数码问题，其启发式方法为当前棋盘与目标棋盘的差异度，而差异度又可以通过两种方法来进行计算。

记当前棋盘为 source，目标棋盘为 target。第一种计算方法为：如果 source[i][j] != target[i][j]，则差异度 += 1；第二种计算方法为：如果 source[i][j] == target[m][n]，则差异度 += (abs(m - i) + abs(n - j))。

例如，对于上面的初始状态和目标状态，使用第一种计算方法，其差异度矩阵为（1 表示该位置两状态矩阵的元素不同，0 表示相同）：

最终可以计算出两个矩阵的差异度为 4。

使用第二种计算方法，其差异度矩阵为（值表示 source[i][j] 的元素移动到目标位置所需的最短步数）：

最终可以计算出两个矩阵的差异度为 5。

不管使用哪种办法，都能得出一个差异度，暂且记为 g。并且，解题的办法要么采用 DFS，要么采用 BFS，两种办法的搜索时间都会随着深度的增加而增加，我们的目标是尽量减少搜索的时间，也就是要想办法减少搜索深度。为了解决这个问题，记当前的搜索深度为 d，那么 d 越小越好。同时，我们又希望 g 越小越好，所以我们整体的目标就可以转化为 d + g 越小越好，这综合了 d 和 g 各自有的优势，是一个良好的 tradeoff。

因此，我们的整体目标也就转化成了：在 DFS 或 BFS 的函数中，对每一个状态都计算 f = d + g，选取 f 最小的那个结点，让它作为下次迭代的首选结点。

2. 代码演示

下面使用三种方式来评估启发式算法的性能，第一种是不使用启发式算法，第二种是使用前文提到的策略 1，第三种是使用前文提到的策略 2。

2.1 不使用启发式算法

在代码中，将变量 use_A_star 设定为 False 即指定不使用启发式算法，运行结果为：

运行 50 次求得所耗平均时间为：0.022931413650512697 s

2.2 使用启发式策略 1

在代码中，将变量 use_A_star 设定为 True，strategy 设定为 1，即指定使用启发式算法 1，运行结果为：

运行 50 次求得所耗平均时间为：0.0021903276443481444 s

2.3 使用启发式策略 2

在代码中，将变量 use_A_star 设定为 True，strategy 设定为 2，即指定使用启发式算法 2，运行结果为：

运行 50 次求得所耗平均时间为：0.002417140007019043 s

3. 结论分析

从三种方法的运行结果可以得出下列结论：使用启发式算法可以大幅度节省程序运行时间（是纯 BFS 的 1/10），启发式算法 1 比启发式算法 2 效率更高，这可能是因为算法 1 在计算矩阵差异度时只需要遍历一遍矩阵，而算法 2 需要遍历两遍矩阵。

4. 源码

import numpy as np
import time


class Node(object):
    def __init__(self, source, target, strategy, cost=0, depth=0):
        self.directions = ['left', 'up', 'right', 'down']
        self.source = source
        self.target = target
        self.cost = cost
        self.depth = depth
        self.strategy = strategy
        

    # 打印原始矩阵
    def print_source(self):
        for i in range(3):
            [print(self.source[i][j], end=' ') for j in range(3)]
            print()
        print()

    # 计算不在位的棋子个数
    def num_misposition(self):
        # 比较source和target，不同的地方标记为1，相同的地方标记为0
        flag = np.where(self.source == self.target, 0, 1)
        # 返回source与target之间不相同的数的个数
        return np.sum(np.reshape(flag, (flag.size,)))

    # 计算耗散值
    def get_cost(self):
        if self.strategy == 1:
            return self.depth + self.num_misposition()
        elif self.strategy == 2:
            flag = np.where(self.source == self.target, 0, 1)
            sum_cost = 0
            for i in range(3):
                for j in range(3):
                    if flag[i][j]:
                        for m in range(3):
                            for n in range(3):
                                if self.target[m][n] == self.source[i][j]:
                                    dif_row, dif_col = abs(m - i), abs(n - j)
                                    sum_cost += (dif_row + dif_col)
            return sum_cost

    # 将棋子0分别往四个方向移动
    def move(self):
        # 记录棋子0所在的行号和列号
        row, col = np.where(self.source == 0)
        row, col = row[0], col[0]
        moved_nodes = []
        for direction in self.directions:
            if direction == 'left' and col > 0:
                source_copy = self.source.copy()
                source_copy[row, col], source_copy[row, col - 1] = source_copy[row, col - 1], source_copy[row, col]
                moved_nodes.append(
                    Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))
            elif direction == 'up' and row > 0:
                source_copy = self.source.copy()
                source_copy[row, col], source_copy[row - 1, col] = source_copy[row - 1, col], source_copy[row, col]
                moved_nodes.append(
                    Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))
            elif direction == 'right' and col < len(self.source) - 1:
                source_copy = self.source.copy()
                source_copy[row, col], source_copy[row, col + 1] = source_copy[row, col + 1], source_copy[row, col]
                moved_nodes.append(
                    Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))
            elif direction == 'down' and row < len(self.source) - 1:
                source_copy = self.source.copy()
                source_copy[row, col], source_copy[row + 1, col] = source_copy[row + 1, col], source_copy[row, col]
                moved_nodes.append(
                    Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))
        return moved_nodes


class EightPuzzle(object):
    def __init__(self, init_node, use_A_star, strategy):
        self.use_A_star = use_A_star
        self.queue = []
        self.closed_nodes = []
        self.count = 0
        self.init_node = init_node
        self.time_start = 0
        self.time_end = 0
        self.strategy = strategy
        

    # 判断传入的结点是否在self.closed_nodes中
    def is_in_closed_nodes(self, node):
        for closed_node in self.closed_nodes:
            # 比较closed_node和node，不同的地方标记为1，相同的地方标记为0
            flag = np.where(closed_node.source == node.source, 0, 1)
            if np.sum(np.reshape(flag, (flag.size,))) == 0:
                return True
        return False
    
    # 获取最小耗散值的那个结点
    def get_min_cost_index(self):
        min_cost = self.queue[0].cost
        index = 0
        for i in range(len(self.queue)):
            if self.queue[i].cost < min_cost:
                index = i
                min_cost = self.queue[i].cost
        return index

    # bfs求解问题
    def bfs(self):
        self.time_start = time.time()
        self.queue.append(self.init_node)
        min_cost = self.init_node.cost
        while self.queue:
            if self.use_A_star:
                current_node_index = self.get_min_cost_index()
                current_node = self.queue.pop(current_node_index)
            else:
                current_node = self.queue.pop(0)
            self.closed_nodes.append(current_node)
            # 不在位棋子个数为0，到达终点
            if current_node.num_misposition() == 0:
                self.time_end = time.time()
                return True, self.time_end - self.time_start, current_node
            moved_nodes = current_node.move()
            for next_node in moved_nodes:
                if self.is_in_closed_nodes(next_node):
                    continue
                self.queue.append(next_node)
            self.count += 1
        self.time_end = time.time()
        return False, self.time_end - self.time_start, None


def main():
    source = np.array([[2, 8, 3], [1, 6, 4], [7, 0, 5]])
    target = np.array([[1, 2, 3], [8, 0, 4], [7, 6, 5]])
    print('The source matrix is:\n', source)
    print('The target matrix is:\n', target)
    use_A_star = True
    strategy = 2
    init_node = Node(source, target, strategy, cost=0)

    solution = EightPuzzle(init_node, use_A_star, strategy)
    has_solved, time_used, result_node = solution.bfs()

    if has_solved:
        print('\nThis problem has been solved, using', time_used, 's.')
        print('The result matrix is:')
        result_node.print_source()
        
    return time_used


if __name__ == '__main__':
    main()

---

经评论区同学指出的问题，对代码结构进行了优化，能够生成并处理更复杂的矩阵结构，算法2的效率显著优于算法1，并且优化了4层for循环提高了代码的运行速度：

import numpy as np
import sys
import time

def matrix_print(matrix):
    for row in matrix:
        print(' '.join(map(str, row)))

def generate_spiral_matrix(n):
    if n % 2 == 0:
        raise ValueError("Size must be an odd number for a zero-centered spiral matrix")
    
    # 初始化一个n*n的矩阵
    matrix = [[0]*n for _ in range(n)]
    # 定义初始填充的数值
    num = 1
    # 定义矩阵的四个边界
    left, right, top, bottom = 0, n-1, 0, n-1

    while left < right and top < bottom:
        # 从左到右填充上边
        for i in range(left, right):
            matrix[top][i] = num
            num += 1
        # 从上到下填充右边
        for i in range(top, bottom):
            matrix[i][right] = num
            num += 1
        # 从右到左填充下边
        for i in range(right, left, -1):
            matrix[bottom][i] = num
            num += 1
        # 从下到上填充左边
        for i in range(bottom, top, -1):
            matrix[i][left] = num
            num += 1
        
        left += 1
        right -= 1
        top += 1
        bottom -= 1
    # 如果n是奇数，则中心点会被最后剩下，单独设置中心点为0
    if n % 2 == 1:
        center = n // 2
        matrix[center][center] = 0

    return matrix


class Node(object):
    def __init__(self, source, target, strategy, cost=0, depth=0, size=3):
        self.directions = ['left', 'up', 'right', 'down']
        self.source = source
        self.target = target
        self.cost = cost
        self.depth = depth
        self.strategy = strategy
        self.size = size
        
    # 打印原始矩阵
    def print_source(self):
        matrix_print(self.source)

    # 计算不在位的棋子个数
    def num_misposition(self):
        # 比较source和target，不同的地方标记为1，相同的地方标记为0
        flag = np.where(self.source == self.target, 0, 1)
        # 返回source与target之间不相同的数的个数
        return np.sum(np.reshape(flag, (flag.size,)))

    # 计算耗散值
    def get_cost(self):
        if self.strategy == 1:
            return self.depth + self.num_misposition()
        elif self.strategy == 2:
            # 在初始化或第一次调用 get_cost 时建立目标位置映射
            if not hasattr(self, 'target_positions'):
                self.target_positions = {self.target[i][j]: (i, j) for i in range(self.size) for j in range(self.size)}
            
            sum_cost = 0
            for i in range(self.size):
                for j in range(self.size):
                    if self.source[i][j] != self.target[i][j]:
                        target_i, target_j = self.target_positions[self.source[i][j]]
                        sum_cost += abs(target_i - i) + abs(target_j - j)
            return sum_cost + self.depth


    # 将棋子0分别往四个方向移动
    def move(self):
        # 记录棋子0所在的行号和列号
        row, col = np.where(self.source == 0)
        row, col = row[0], col[0]
        moved_nodes = []
        for direction in self.directions:
            if direction == 'left' and col > 0:
                source_copy = np.copy(self.source)
                source_copy[row, col], source_copy[row, col - 1] = source_copy[row, col - 1], source_copy[row, col]
                moved_nodes.append(
                    Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))
            elif direction == 'up' and row > 0:
                source_copy = np.copy(self.source)
                source_copy[row, col], source_copy[row - 1, col] = source_copy[row - 1, col], source_copy[row, col]
                moved_nodes.append(
                    Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))
            elif direction == 'right' and col < len(self.source) - 1:
                source_copy = np.copy(self.source)
                source_copy[row, col], source_copy[row, col + 1] = source_copy[row, col + 1], source_copy[row, col]
                moved_nodes.append(
                    Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))
            elif direction == 'down' and row < len(self.source) - 1:
                source_copy = np.copy(self.source)
                source_copy[row, col], source_copy[row + 1, col] = source_copy[row + 1, col], source_copy[row, col]
                moved_nodes.append(
                    Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))
        return moved_nodes


class EightPuzzle(object):
    def __init__(self, init_node, use_A_star, strategy, max_iterations=100000):
        self.use_A_star = use_A_star
        self.queue = []
        self.closed_nodes = []
        self.count = 0
        self.init_node = init_node
        self.time_start = 0
        self.time_end = 0
        self.strategy = strategy
        self.max_iterations = max_iterations

    # 判断传入的结点是否在self.closed_nodes中
    def is_in_closed_nodes(self, node):
        for closed_node in self.closed_nodes:
            # 比较closed_node和node，不同的地方标记为1，相同的地方标记为0
            flag = np.where(closed_node.source == node.source, 0, 1)
            if np.sum(np.reshape(flag, (flag.size,))) == 0:
                return True
        return False
    
    # 获取最小耗散值的那个结点
    def get_min_cost_index(self):
        min_cost = self.queue[0].cost
        index = 0
        for i in range(len(self.queue)):
            if self.queue[i].cost < min_cost:
                index = i
                min_cost = self.queue[i].cost
        return index

    # bfs求解问题
    def bfs(self):
        self.time_start = time.time()
        self.queue.append(self.init_node)
        while self.queue and self.count < self.max_iterations:
            self.count += 1
            if self.use_A_star:
                current_node_index = self.get_min_cost_index()
                current_node = self.queue.pop(current_node_index)
            else:
                current_node = self.queue.pop(0)
            self.closed_nodes.append(current_node)
            # 不在位棋子个数为0，到达终点
            if current_node.num_misposition() == 0:
                self.time_end = time.time()
                return True, self.time_end - self.time_start, current_node
            moved_nodes = current_node.move()
            for next_node in moved_nodes:
                if self.is_in_closed_nodes(next_node):
                    continue
                self.queue.append(next_node)
        self.time_end = time.time()
        return False, self.time_end - self.time_start, None


def compute(size, strategy):
    target = np.array(generate_spiral_matrix(size))
    # 随机打乱数组
    flat_target = target.flatten()
    np.random.shuffle(flat_target)
    source = flat_target.reshape(target.shape)

    source = np.array([[2, 7, 4], [3, 8, 6], [5, 0, 1]])
    target = np.array([[1, 2, 3], [8, 0, 4], [7, 6, 5]])

    print('The source matrix is:')
    matrix_print(source)
    print('The target matrix is:')
    matrix_print(target)

    init_node = Node(source, target, strategy, cost=0, size=size)
    solution = EightPuzzle(init_node, use_A_star=True, strategy=strategy)
    has_solved, time_used, result_node = solution.bfs()

    if has_solved:
        print('\nThis problem has been solved, using', time_used, 's.')
        print('The result matrix is:')
        result_node.print_source()
        
    return time_used


if __name__ == '__main__':
    if len(sys.argv) != 2:
        size = 3
    else:
        size = int(sys.argv[1])
    strategy = 2
    compute(size, strategy)