1.分析炮弹受力

假设炮弹在飞行过程中可以看成质点，运动时仅考虑初始速度、重力加速度以及空气阻力的影响。考虑平面是X-Y二维的情况，假设位置、速度、加速度的X和Y方向各自是解耦的。
加速度=重力加速度（矢量）+空气阻力加速度（矢量）
重力加速度不需要多说，为恒定值；空气阻力较为复杂，经过查阅资料可知，空气阻力的方向和物体与空气的相对运动方向相反，大小为$$f=\frac{1}{2}C\rho {\nu }^2$$其中$\nu$为物体相对于空气的速度，C为空气阻力系数，由物体的形状决定，$\rho$为空气密度，一般正常干燥空气为1.29g/L左右。
由于位置由X和Y坐标共同决定，因此也可以将速度和加速度分解为X和Y方向两个矢量，具体的运算关系如下：
$$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P}+T_t\ast \overrightarrow{V}\\ \overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}+T_t\ast \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_f}+\overrightarrow{a_g}\end{array}$$
其中$T_t$为仿真间隔，$\overrightarrow{P}、\overrightarrow{V}，\overrightarrow{a}$分别为炮弹当前时刻的位移、速度、加速度矢量，$\overrightarrow{a_f}、\overrightarrow{a_g}$分别为空气阻力加速度和重力加速度。

2.设定参数并仿真

T=30;%仿真时间
Tt=0.05;%仿真间隔
P=[0,0];%炮弹的初始点坐标[X,Y]
V=[50,50];%炮弹的初始速度
M=2;%炮弹自重
C=0.35;%空气阻力系数
rou=1.29;%空气密度
D=0.06;%炮弹直径
S=pi*D^2/4;%炮弹迎风面积
k=0.5*C*rou*S/M;%空气阻力加速度总系数
af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%空气阻力系数
ag=[0,-9.8];%重力加速度
figure;
title('模拟炮弹飞行轨迹');
%xlim([0,600]);ylim([0,140]);
hold on;
for i=0:Tt:T
    if P(2)<0,disp('到达地面，已仿真结束!'),disp([num2str(i),'s']),break,end
    plot(P(1),P(2),'.');hold on;
    a=af+ag;%计算总的加速度
    V=V+a*Tt;%计算当前速度
    P=P+V*Tt;%计算当前位置
    af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%当前空气阻力加速度
    pause(0.01);%动画延迟
    %disp(['已仿真',num2str(i),'s'])
end 

初始速度为$\overrightarrow{V}=(50,50)$，可以看出由于空气阻力的影响，轨迹的后半段的飞行距离明显不如前半段。通过修改不同的参数：
①初始速度$\overrightarrow{V}$
②空气阻力系数C
③炮弹直径D
④炮弹质量M
可以粗略地得知四个参数对炮弹飞行轨迹的影响。

3.通过仿真寻找最佳射弹速度

假设炮弹的发射速率固定，那么通过修改发射角度，可以给炮弹的飞行轨迹的诸多指标进行评价。例如飞行距离、飞行时间、飞行轨迹等等。为了方便我们对比各参数，我们对代码稍作修改即可。

3.1.射弹角度的影响

保持射弹速率为$50\sqrt{2}$，控制发射角度，观察炮弹的飞行轨迹，代码如下：

T=30;%仿真时间
Init_angle=[30,45,60];
Tt=0.05;%仿真间隔
P=[0,0];%炮弹的初始点坐标[X,Y]
M=2;%炮弹自重
C=0.35;%空气阻力系数
rou=1.29;%空气密度
D=0.06;%炮弹直径
S=pi*D^2/4;%炮弹迎风面积
k=0.5*C*rou*S*rou/M;%空气阻力加速度总系数
af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%空气阻力系数
ag=[0,-9.8];%重力加速度
figure;
%xlim([0,600]);ylim([0,140]);
hold on;
for j=1:size(Init_angle,2)
    V=50*sqrt(2)*[cos(Init_angle(j)*pi/180),sin(Init_angle(j)*pi/180)];%计算初速度
    P=[0,0];%重置位置
    subplot(3,1,j);
    for i=0:Tt:T
        if P(2)<0,disp('到达地面，已仿真结束!'),disp([num2str(i),'s']),break,end
        plot(P(1),P(2),'.');hold on;
        a=af+ag;%计算总的加速度
        V=V+a*Tt;%计算当前速度
        P=P+V*Tt;%计算当前位置
        af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%当前空气阻力加速度
        %pause(0.01);%动画延迟
        %disp(['已仿真',num2str(i),'s'])
    end 
    title(['射弹角度：',num2str(Init_angle(j)),'° ','飞行时间：',num2str(i),'s','飞行距离：',num2str(P(1))])
end

效果如下：

可以看出，在目前的空气阻力系数、炮弹直径和质量以及射弹速率条件下，45°出射角可以获得最长的射弹距离，而30°的出射角飞行时间最短，而60°的出射角射弹距离最短，飞行时间最长。为了让我们得出更加精确的结论，我们进一步缩减变量步长——通过修改Init_angle（初始速度矩阵）实现，则可以得到该状态下的最优出射角：


因此可以粗略的看出，在此炮弹属性以及射弹速率的条件下，为获得最长射弹距离，45°角显然是最优角。若要获得更短的飞行时间，可以略微减小角度。

3.2.射弹速率的影响

保证射弹角度是一个定值45°，修改射弹速率，仿真代码如下：

T=30;%仿真时间
gain=[1,1.5,2,3];
Tt=0.05;%仿真间隔
P=[0,0];%炮弹的初始点坐标[X,Y]
M=2;%炮弹自重
C=0.35;%空气阻力系数
rou=1.29;%空气密度
D=0.06;%炮弹直径
S=pi*D^2/4;%炮弹迎风面积
k=0.5*C*rou*S*rou/M;%空气阻力加速度总系数
af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%空气阻力系数
ag=[0,-9.8];%重力加速度
figure;
%xlim([0,600]);ylim([0,140]);
hold on;
for j=1:size(gain,2)
    V=gain(j)*[50,50];%计算初速度
    P=[0,0];%重置位置
    subplot(2,2,j);
    for i=0:Tt:T
        if P(2)<0,disp('到达地面，已仿真结束!'),disp([num2str(i),'s']),break,end
        plot(P(1),P(2),'.');hold on;
        a=af+ag;%计算总的加速度
        V=V+a*Tt;%计算当前速度
        P=P+V*Tt;%计算当前位置
        af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%当前空气阻力加速度
        %pause(0.01);%动画延迟
        %disp(['已仿真',num2str(i),'s'])
    end 
    title(['射弹速率：',num2str(gain(j)*50),' ','飞行时间：',num2str(i),'s  ','飞行距离：',num2str(P(1))])
end

飞行轨迹图如下：

从飞行轨迹上可以看出，随着射弹速率的提高，飞行距离显著提高，但是射弹轨迹的对称性下降，说明空气阻力对飞行轨迹的影响逐渐加强。此时的45°角不再是最优出射角，可以就射弹速率为150的情况进行研究分析，代码如下：

T=30;%仿真时间
Init_angle=[35,40,45];
Tt=0.05;%仿真间隔
P=[0,0];%炮弹的初始点坐标[X,Y]
M=2;%炮弹自重
C=0.35;%空气阻力系数
rou=1.29;%空气密度
D=0.06;%炮弹直径
S=pi*D^2/4;%炮弹迎风面积
k=0.5*C*rou*S*rou/M;%空气阻力加速度总系数
af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%空气阻力系数
ag=[0,-9.8];%重力加速度
figure;
%xlim([0,600]);ylim([0,140]);
hold on;
for j=1:size(Init_angle,2)
    V=150*[cos(Init_angle(j)*pi/180),sin(Init_angle(j)*pi/180)];%计算初速度
    P=[0,0];%重置位置
    subplot(3,1,j);
    for i=0:Tt:T
        if P(2)<0,disp('到达地面，已仿真结束!'),disp([num2str(i),'s']),break,end
        plot(P(1),P(2),'.');hold on;
        a=af+ag;%计算总的加速度
        V=V+a*Tt;%计算当前速度
        P=P+V*Tt;%计算当前位置
        af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%当前空气阻力加速度
        %pause(0.01);%动画延迟
        %disp(['已仿真',num2str(i),'s'])
    end 
    title(['射弹角度：',num2str(Init_angle(j)),'° ','飞行时间：',num2str(i),'s','飞行距离：',num2str(P(1))])
end

通过对比可知，45°不再是最佳出射角，35°~45°范围内射弹距离变化不是很大，但是减小出射角度可以大大地缩短飞行时间。

3.3.炮弹属性和空气的影响

假设忽略空气阻力的影响，通过物理学的知识很容易可以计算出出射角为45°时总能获得最大的射弹距离。但如果空气阻力不可忽略，通过上文的探讨可以发现，随着空气阻力因素逐渐增强（射弹速率的增加），略微减小射弹角度有利于获得更长的射弹距离和更短的飞行时间，下面我们就通过其他几个因素调节空气阻力对炮弹的影响来印证此定律。（炮弹直径、炮弹质量、炮弹的空气阻力系数、空气密度）

3.3.1.空气阻力系数的影响

将空气阻力系数C设为一个参数矩阵，将其作为外层循环，出射角作为内层循环，对比不同空气阻力系数下三种出射角的飞行轨迹。

close all
clear
T=30;%仿真时间
Init_angle=[35,40,45];
Tt=0.05;%仿真间隔
P=[0,0];%炮弹的初始点坐标[X,Y]
M=2;%炮弹自重
C=[0.25,0.35,0.5];%空气阻力系数
rou=1.29;%空气密度
D=0.06;%炮弹直径
S=pi*D^2/4;%炮弹迎风面积
ag=[0,-9.8];%重力加速度
figure;hold on;
for N=1:size(C,2)
    k=0.5*C(N)*rou*S*rou/M;%空气阻力加速度总系数
    for j=1:size(Init_angle,2)
        V=50*sqrt(2)*[cos(Init_angle(j)*pi/180),sin(Init_angle(j)*pi/180)];%计算初速度
        af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%空气阻力初始加速度
        P=[0,0];%重置位置
        subplot(3,3,(N-1)*size(Init_angle,2)+j)
        for i=0:Tt:T
            if P(2)<0,disp('到达地面，已仿真结束!'),disp([num2str(i),'s']),break,end
            plot(P(1),P(2),'.');hold on;
            a=af+ag;%计算总的加速度
            V=V+a*Tt;%计算当前速度
            P=P+V*Tt;%计算当前位置
            af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%当前空气阻力加速度
            %pause(0.01);%动画延迟
            %disp(['已仿真',num2str(i),'s'])
        end 
        title({['空气阻力系数：',num2str(C(N)),...
            ' 射弹角度：',num2str(Init_angle(j)),'°'];...
            ['飞行时间：',num2str(i),'s ',...
            '飞行距离：',num2str(P(1))]})
    end
end

效果如下：

可以看出，随着炮弹的空气阻力系数加大，空气阻力的影响逐渐显著，35°~45°之间的射弹距离变化逐渐减小，但是飞行略微减小角度却可以获得更短的飞行时间，最佳的出射角逐渐趋向于40°。总体来说，较大的空气阻力系数应该略微减小出射角，反之，应该略微增大出射角使之更接近于45°。
从空气阻力的计算表达式$f=0.5C\rho {\nu }^2$可以看出，空气密度增大以及初速度增大对于出射角的影响应该类似。我们也可以大体上作出推断，由于$a_f=f/M$，在保持其他变量不变的情况下炮弹的质量越大，空气阻力影响越小，最佳出射角越接近于45°。

3.3.2.炮弹质量的影响

按照同样的方法，将质量设为一个参数矩阵作为外循环，角度矩阵作为内循环进行仿真，代码如下：

close all
clear
T=30;%仿真时间
Init_angle=[35,40,45];
Tt=0.05;%仿真间隔
P=[0,0];%炮弹的初始点坐标[X,Y]
M=[2,3,4];%炮弹自重
C=0.35;%空气阻力系数
rou=1.29;%空气密度
D=0.06;%炮弹直径
S=pi*D^2/4;%炮弹迎风面积
ag=[0,-9.8];%重力加速度
figure;hold on;
for N=1:size(M,2)
    k=0.5*C*rou*S*rou/M(N);%空气阻力加速度总系数
    for j=1:size(Init_angle,2)
        V=50*sqrt(2)*[cos(Init_angle(j)*pi/180),sin(Init_angle(j)*pi/180)];%计算初速度
        af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%空气阻力初始加速度
        P=[0,0];%重置位置
        subplot(3,3,(N-1)*size(Init_angle,2)+j)
        for i=0:Tt:T
            if P(2)<0,disp('到达地面，已仿真结束!'),disp([num2str(i),'s']),break,end
            plot(P(1),P(2),'.');hold on;
            a=af+ag;%计算总的加速度
            V=V+a*Tt;%计算当前速度
            P=P+V*Tt;%计算当前位置
            af=-k*[V(1)^2,V(2)^2];%当前空气阻力加速度
        end 
        title({['炮弹质量：',num2str(M(N)),...
            ' 射弹角度：',num2str(Init_angle(j)),'°'];...
            ['飞行时间：',num2str(i),'s ',...
            '飞行距离：',num2str(P(1))]})
    end
end

效果如下：

可以看出，这个和我们的预估是一样的。
综上所述，决定最佳出射角的综合因子是
$$a_{f_0}=\frac{C\rho {{\nu }_0}^2}{2M}$$
该因子越大，最佳出射角在45°基础上减小的角度越大，该因子越小，最佳出射角越接近于45°。
希望本文对您有帮助，谢谢阅读。