6.1 为何需要大样本理论

（1）小样本理论的假设过强。
首先，小样本理论的严格外生性假设要求解释变量与所有的扰动项均正交（不相关）。大样本理论则只要求解释变量与同期（同方程）的扰动项不相关。
其次，小样本理论假定扰动项为正态分布，而大样本理论无此限制。在很多情况下，我们并无法把握经济变量是否服从正态分布。
（2）在小样本理论的框架下，我们必须研究统计量的精确分布，但常常难以推导。而根据大样本理论，只要研究统计量的大样本分布，相对比较容易推导（可使用大数定律与中心极限定理）。
（3）使用大样本理论的代价是要求样本容量较大，以便大数定律与中心极限定理可以起作用。
样本容量一般至少$n\ge 30$，最好在100以上。

6.2 随机收敛

1.确定性序列的收敛

2.随机序列的收敛








3.依均方收敛

依均方收敛意味着依概率收敛；反之，依概率收敛并不意味着依均方收敛

4.依分布收敛

• 举个例子
  $t$分布的自由度越来越大是，$t$分布依分布收敛于标准正态分布，即当$k\to \infty$时，$t(k)\stackrel{a}{⟶}N(0,1)$

分布函数
twoway function N=normal(x),range(-5 5)||function t1=t(1,x),range(-5 5) lp(dash)||function t5=t(5,x),range(-5 5) lp(shortdash) ytitle(累积分布函数)

概率密度
twoway function N=normalden(x),range(-5 5)||function t1=tden(1,x),range(-5 5) lp(dash)||function t5=tden(5,x),range(-5 5) lp(shortdash) ytitle(概率密度)

• 依分布收敛的运算
  
  

summary：依均方收敛→依概率收敛→依分布收敛

6.3 大数定律与中心极限定理

1.大数定律【样本均值依概率收敛于总体期望】

2.中心极限定理【样本均值的分布近似正态分布】

6.4 使用蒙特卡罗法模拟中心极限定理

目标：验证 样本均值这个随机变量 是否 渐进正态分布
思路：x服从(0,1)上的均匀分布，抽取10000组样本，每组样本容量30，就是10000个30，计算出10000个样本均值，将这10000个样本均值画出来，看看是不是正态分布的形状

//哇，好久没写代码了，这有点写函数的感觉，我既熟悉又陌生。
program onesample,rclass //写一个子程序，以r()形式储存
	drop _all  //删去内存中已有数据
	set obs 30
	gen x=runiform()  //得到在（0，1）上均匀分布的随机样本
	sum x
	return scalar mean_sample=r(mean)  //样本均值记为mean_sample。
	end //程序onesample结束
	
set more off
simulate xbar=r(mean_sample),seed(101) reps(10000) nodots:onesample
//nodots表示不显示表示模拟过程的点（默认以一个点表示抽取一个样本）
hist xbar,normal

6.5 统计量的大样本性质

• 一致估计量
  
  

• 渐近正态分布、渐近方差、渐进有效
  
  

6.6 随机过程的性质

• 严格平稳过程【无论怎么取，分布都一样】
  
  
  
  
• 弱平稳过程【只要求二阶矩平稳（即期望、方差、协方差等不随时间而变），更高阶的不能保证】
  
  

严格平稳过程一定是弱平稳过程，反之则不然。


白噪声


多维

• 渐近独立性/弱相依
  只要两个随机变量相距足够远，可近似认为他们相互独立。
  AR（1）模型为渐近独立的过程
  

• 渐近独立定理【大数定律的推广：不需要idd，只要求渐近独立的严格平稳过程，样本均值估计期望】
  
  类似地，可将中心极限定理作相应的推广；即在一定条件下，中心极限定理也适用于渐近独立的平稳过程。
  
  （有点像嵌套）
  
  

6.7 大样本OLS的假定

6.8 OLS的大样本性质

忘记了去看一下6.5

在假定6.1—6.4之下，可以证明OLS估计量$\hat{\mathbf{\beta }}$具有以下良好的大样本性质。

（1）$\hat{\mathbf{\beta }}$为一致估计量，即$\underset{n\to \infty }{\mathrm{plim}}\hat{\mathbf{\beta }}=\mathbf{\beta }$
证明略
证明的核心就是前定解释变量假设【解释变量和扰动项不相关，协方差为0】
下面的图是协方差不为0的情况，老师解释很久，比较有代表性的图

如果不满足前定解释变量假设，即使样本容量再大也会有偏差

在计量经济学中，如果解释变量与扰动项相关，即二者的协方差不等于0，则称此解释变量为“内生解释变量”，简称“内生变量”，反之，则为“外生变量”。由于内生变量的存在，致使OLS回归出现偏差，统称为“内生性偏差”，或简称“内生性”。
如果存在遗漏变量、双向因果关系或解释变量测量误差，则常会出现解释变量与扰动项同期相关的情形，导致OLS不一致。

（2）$\hat{\mathbf{\beta }}$服从渐近正态分布


（3）渐近协方差矩阵$Avar(\hat{\mathbf{\beta }})$

数学推导没有细研究，为了心情愉快地继续学，暂时先放一下

$\hat{\mathbf{\beta }}$的渐近方差估计量：
$$\widehat{Avar(\hat{\mathbf{\beta }}|\mathbf{X})}=n({\mathbf{X}}^{\prime }\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\prime }\widehat{Var(\mathbf{\beta }|\mathbf{X})}\mathbf{X}({\mathbf{X}}^{\prime }\mathbf{X}{)}^{-1}$$
上式没有假设“条件同方差”，它提供了在“条件异方差”情况下也成立的标准误，称为“异方差稳健的标准误”，简称“稳健标准误”。

6.9 大样本统计推断

1.检验单个系数:$H_0:{\beta }_k=c$
定义$t$统计量为

2.检验线性假设：$H_0:R\beta =r$

6.10 大样本OLS的Stata实例

OLS估计的稳健标准误reg y x1 x2 x3,robust

以数据集 nerlove.dta 为例

• 使用普通标准误进行 OLS 估计

use nerlove.dta,clear
reg lntc lnq lnpl lnpk lnpf

显示规模报酬，“1/_b[lnq]” 表示lnq的OLS系数估计值

display 1/_b[lnq]

大于1，规模报酬递增

检验规模报酬不变的原假设$H_0:r=1$

test lnq=1

p值为0，强烈拒绝原假设，认为存在规模报酬递增

• 使用稳健标准误重新进行回归
  
  
  如果认为存在异方差，则应使用稳健标准误。在异方差的情况下，如果使用普通标准误，将大大低估变量ln Q系数的真实标准误，从而导致不正确的统计推断。如何检验异方差，将在第7章介绍。
  

6.11 大样本理论的蒙特卡洛模拟