声源定位系统设计（二）——MUSIC算法以及Python代码实现

上一篇：声源定位系统设计（一）——MVDR波束形成算法讲述了声源定位系统的一些基本概念以及MVDR算法的原理。

一、前言

上篇博客中已经详细介绍了声源定位的一些概念以及MVDR波束形成法的原理，在本篇博客中，我将介绍另一种更为精准的波束形成算法：MUSIC算法以及这两种算法的Python代码实现。

二、MUSIC算法

MUSIC（Multiple Signal Classification）算法的方法类似于MVDR算法，只是在最后计算的时候有些许不同。该算法建立在一下假设基础上：
①、噪声为高斯分布，每个麦克风之间的噪声分布为随机过程，之间相互独立，空间平稳，即每个麦克风噪声方差相等。
②、要求空间信号为高斯平稳随机过程，且与单元麦噪声互不相干，相互独立。
③、目标声源数目小于阵列元数目。
④、阵元间隔不大于来波信号中频率最高波长的1/2。
MUSIC算法是空间谱估计技术的代表之一，它利用特征结构分析。其基本原理是将协方差矩阵进行特征值分解。它通常把空间信号分为两种，一种是信号特征向量对应的信号空间，另一种是噪声向量对应的噪声空间，利用噪声空间和信号空间的正交性原理，构造空间谱函数进行搜索，从而预估出DOA信息。
按照上一篇博客的做法，阵列数据的协方差矩阵为：
$$R=E[X(t)X^H(t)]=A{R}_{S}A+R_N$$
其中，$R_S$和$R_N$分别为信源的协方差矩阵和噪源的协方差矩阵。
通过对阵列协方差矩阵进行特征值分解，将特征值进行升序排列，其中有D个较大的特征值，对应于声源信号，而有M-D个较小的特征值，对应于噪声信号。
设${\lambda }_i$为第i个特征值，$v_i$为其对应的特征向量，则：
$$R{v}_i={\lambda }_i{v}_i$$
设${\lambda }_i={\sigma }^2$是R的最小特征值，则：
$$R{v}_i={\sigma }^2{v}_i,i=D+1,D+2,...,M$$
将$R=A{R}_S{A}^H+{\sigma }^{2}I$代入上式得：
$${\sigma }^2{v}_i=(A{R}_S{A}^H+{\sigma }^{2}I)v_i$$
化简可得：
$$A{R}_S{A}^H{v}_i=0$$
由于$A^{H}A$是满秩矩阵，$(A^{H}A{)}^{-1}$存在，而$R_S^{-1}$也存在，则上式同乘以$R_S^{-1}(A^{H}A{)}^{-1}{A}^H$后变成：
$$R_S^{-1}(A^{H}A{)}^{-1}{A}^{H}A{R}_S{A}^H{v}_i=0$$
于是有$A^H{v}_i=0,i=D+1,D+2,...,M$
故可以用噪声向量来求信号源的角度。先构造噪声矩阵$E_n$
$$E_n=[v_{D+1},v_{D+2},...v_M]$$
最后定义空间谱$P(\theta )$
$$P(\theta )=\frac{1}{a^H(\theta )E_n{E}_n^{H}a(\theta )}$$
其中a为上一篇博客中的方向导向向量，通过遍历$\theta$，即可得到一个空间的功率谱，寻找其最值即可寻得DOA方向角。二维的估计也想同，增加一个遍历的维度即可。

三、MVDR算法代码实现

直接上代码了：
我这里用了一个16阵元的麦克风阵列信号采集板。设计两层圆阵。

nmicro = 16
layers = 2
micros_every_layer = nmicro//layers
R = [0.082, 0.103]
theta_micro = np.zeros(nmicro)#所有麦克风阵元的角度
for layer in range(layers):
    theta_micro[micros_every_layer*layer:micros_every_layer*(layer+1)] = \
        2*np.pi/micros_every_layer*(np.arange(micros_every_layer)+0.5*layer)
#所有麦克风阵元的坐标
pos = np.concatenate((np.stack([R[0] * np.cos(theta_micro[:8]), R[0] * np.sin(theta_micro[:8]), np.zeros(8)],axis = 1), \
    np.stack([R[1] * np.cos(theta_micro[8:]), R[1] * np.sin(theta_micro[8:]), np.zeros(8)],axis = 1)), axis=0)
#PyAudio的信号采集参数
CHUNK = 1600
FORMAT = pyaudio.paInt16
CHANNELS = 18
RATE = 16000
p = pyaudio.PyAudio()
stream = p.open(format=FORMAT,
                channels=CHANNELS,
                rate=RATE,
                input=True,
                frames_per_buffer=CHUNK)
#最后求得的声源位置
xr = 0
yr = 0
#遍历的x和y，假设z为固定深度1m
X_STEP = 20
Y_STEP = 20
x = np.linspace(-0.4, 0.4, X_STEP)
y = np.linspace(-0.4, 0.4, Y_STEP)
z = 1
def beamforming():
    global xr, yr, x, y
    while True:
        data = stream.read(1600)
        data = np.frombuffer(data, dtype=np.short)
        data = data.reshape(1600,18)[:,:16].T
        p = np.zeros((x.shape[0], y.shape[0]))#声强谱矩阵
        #傅里叶变换，在频域进行检测
        data_n = np.fft.fft(data)/data.shape[1]# [16,1600]
        data_n = data_n[:, :data.shape[1]//2]
        data_n[:, 1:] *= 2
        #宽带处理，对于50个不同的频率都进行计算
        #r存储每个频率下对应信号的R矩阵
        r = np.zeros((50, nmicro, nmicro), dtype=np.complex)
        for fi in range(1,51):
            rr = np.dot(data_n[:, fi*10-10:fi*10+10], data_n[:, fi*10-10:fi*10+10].T.conjugate())/nmicro
            r[fi-1,...] = np.linalg.inv(rr)
        #MVDR搜索过程
        for i in range(x.shape[0]):
            for j in range(y.shape[0]):
                dm = np.sqrt(x[i]**2+y[j]**2+z**2)
                delta_dn = pos[:,0]*x[i]/dm + pos[:,1]*y[j]/dm
                for fi in range(1,51):
                    a = np.exp(-1j*2*np.pi*fi*100*delta_dn/340)
                    p[i,j] = p[i,j] + 1/np.abs(np.dot(np.dot(a.conjugate(), r[fi-1]), a))

        xr = np.argmax(p)//Y_STEP
        yr = np.argmax(p)%Y_STEP
        print(x[xr],y[yr])

        #转为强度0-1
        p /= np.max(p)
        绘制声强图
        x1, y1 = np.meshgrid(x,y)
        ax = plt.axes(projection='3d')
        ax.plot_surface(x1,y1,np.abs(p.T))
        plt.pause(0.01)

if __name__='__main__':
    while True:
        beamforming()

四、MUSIC算法代码实现

阵列与MVDR相同

nmicro=16
layers = 2
micros_every_layer = nmicro//layers
R = [0.082, 0.103]
theta_micro = np.zeros(nmicro)#所有麦克风阵元的角度
for layer in range(layers):
    theta_micro[micros_every_layer*layer:micros_every_layer*(layer+1)] = \
        2*np.pi/micros_every_layer*(np.arange(micros_every_layer)+0.5*layer)
#所有麦克风阵元的坐标
pos = np.concatenate((np.stack([R[0] * np.cos(theta_micro[:8]), R[0] * np.sin(theta_micro[:8]), np.zeros(8)],axis = 1), \
    np.stack([R[1] * np.cos(theta_micro[8:]), R[1] * np.sin(theta_micro[8:]), np.zeros(8)],axis = 1)), axis=0)
#PyAudio的信号采集参数
CHUNK = 1600
FORMAT = pyaudio.paInt16
CHANNELS = 18
RATE = 16000
p = pyaudio.PyAudio()
stream = p.open(format=FORMAT,
                channels=CHANNELS,
                rate=RATE,
                input=True,
                frames_per_buffer=CHUNK)
#最后求得的声源位置
xr = 0
yr = 0
#遍历的x和y，假设z为固定深度1m
X_STEP = 20
Y_STEP = 20
x = np.linspace(-0.4, 0.4, X_STEP)
y = np.linspace(-0.4, 0.4, Y_STEP)
z = 1
def beamforming():
    global xr, yr, ifplot, x, y
    while True:
        data = stream.read(1600)
        data = np.frombuffer(data, dtype=np.short)
        data = data.reshape(1600,18)[:,:16].T

        data_n = np.fft.fft(data)/data.shape[1]# [16,1600]
        data_n = data_n[:, :data_n.shape[1]//2]
        data_n[:, 1:] *= 2

        r = np.zeros((50, nmicro, nmicro-1), dtype=np.complex)
        for fi in range(1,51):
            rr = np.dot(data_n[:, fi*10-10:fi*10+10], data_n[:, fi*10-10:fi*10+10].T.conjugate())/nmicro
            feavec,_,_ = np.linalg.svd(rr)
            r[fi-1,...] = feavec[:, 1:]
            
        p = np.zeros((x.shape[0], y.shape[0]))
        for i in range(x.shape[0]):
            for j in range(y.shape[0]):
                dm = np.sqrt(x[i]**2+y[j]**2+z**2)
                delta_dn = pos[:,0]*x[i]/dm + pos[:,1]*y[j]/dm
                for fi in range(1,51):
                    a = np.exp(-1j*2*np.pi*fi*100*delta_dn/340)
                    p[i,j] = p[i,j] + 1/np.abs(np.dot(np.dot(np.dot(a.conjugate(), r[fi-1]), r[fi-1].T.conjugate()), a))

        #n = np.argmin(np
        xr = np.argmax(p)//Y_STEP
        yr = np.argmax(p)%Y_STEP
        print(x[xr],y[yr])

        p /= np.max(p)
        x1, y1 = np.meshgrid(x,y)
        ax = plt.axes(projection='3d')
        ax.plot_surface(x1,y1,np.abs(p.T))
        plt.pause(0.01)

上一篇：声源定位系统设计（一）——MVDR波束形成算法讲述了声源定位系统的一些基本概念以及MVDR算法的原理。