一、算法背景

  暗通道先验去雾算法是大神何恺明2009年发表在CVPR上的一篇论文，还获得了当年的CVPR最佳论文。

  根据论文的介绍，暗通道去雾算法是基于一个关键的观察：在没有雾霾的室外图像中，大多数局部区域包含一些像素，这些像素在至少一个颜色通道中具有非常低的强度(原文：It is based on a key observation - most local patches in haze-free outdoor images contain some pixels which have very low intensities in at least one color channel)。因此，基于这个先验知识，可以直接评估出雾霾的厚度，并恢复出高质量的图像，同时还能得到高质量的深度图。

  在计算机视觉领域，对于雾霾图像的模型定义为：


  这个模型可以这样理解，I表示带有雾霾的图像，J表示没有雾霾的图像，t表示透射率，描述了光通过介质投射到摄像头过程中没有被散射的部分,A表示全局大气光照。公式的第一项叫做直接衰减项(direct attenuation)，用来描述图像场景中，光在介质中经过衰减的部分；第二项表示大气光照(airlight)，它由图像采集装置前方的散射引起，会导致景物色调的偏移。当大气是均匀的时候，透射率t可以表示为如下公式：

其中β是大气的散射系数。这个公式表明，随着景深的增加，场景的亮度呈指数衰减。


  所以，从图像处理的角度讲，雾霾图像模型表示，在RGB颜色空间中，向量A、I、J是共面且终点是共线的，如下图所示：

所以，透射率t就可以表示为：

其中，c ∈ {r, g, b}，表示图像颜色通道的下标。

  算法提出的背景模型如此，暗通道去雾算法则是在这个模型上，提出了一个新的先验知识-暗通道先验，从户外雾霾图像中直接估算透射率t。在知乎上看到一张图有点意思哈，应该可以帮助理解，作者见水印：

二、算法原理

2.1 算法提出

  暗通道先验法是基于一个观察结果：在大多数非天空的区域中，至少有一个颜色通道在某些像素处具有非常低的强度。换句话说，这样一个区域中的最小强度值应该非常低，所以对于一幅图像J，定义了其暗通道去雾算法的模型：

其中，J^c表示无雾图像J三个颜色通道的暗原色，Ω(x)表示以x为中心的局部区域块，作者的观察发现，除了天空区域，J^dark的强度是非常低、趋于0的，J^dark叫做无雾图像J的暗通道,上面的这个观察叫做暗通道先验法。

  论文提到，暗通道的低强度的原因主要有三个：a)、阴影，如城市景观图像中的汽车、建筑物和窗户内部的阴影，或景观图像中的树叶、树木和岩石的阴影等；b)、有颜色的物体或者其表面，任何颜色通道中缺少颜色的对象（例如，绿草/树/植物、红色或黄色的花/叶、蓝色的水面）都会导致暗通道中的值较低；c)、深色物体或表面，深色树干和石头等。由于自然的室外图像通常充满阴影和色彩，这些图像的暗通道真的很暗！

  作者收集了很多图像并计算了他们的暗通道图像，如下：


可以看到，暗通道中大约75%的像素值为零，90%的像素强度低于25，大多数暗通道的平均亮度都很低，这意味着只有一小部分室外无霾图像偏离了暗通道先验理论。

2.2 透射率估算

  论文给出的透射率t的计算公式如下：

其中，ω的值是基于应用的，论文中所有实验的值取0.95。这部分的推导如下：

  首先假设大气光A是给定的、局部区域Ω(x)也是恒定的，对雾霾图像模型取最小值操作(注意这里是对三个通道独立操作)：

等价于

对上式三个通道图像取最小值操作，得到：

根据暗通道先验理论，J^dark是趋于0的：

而A^c是一个正数，所以可以表示为：

最后，推导得到：

事实上， 是归一化的雾霾图像的暗通道，它直接给出了透射率的估值。暗通道先验法对于天空区域而言不是好的先验模型，但天空的颜色通常与雾霾图像中的大气光A非常相似，所以在天空区域有：

由于天空是无限的并且趋向于零传输，所以不需要事先分离天空区域，可将其与非天空区域的处理等同。同时，论文还引入常数ω（0<ω≤1），为了让处理结果看起来更自然一些，理由是现实生活中，即使是晴天白云，空气中也会存在一些颗粒，看远方的物体还是能够感觉到雾的影响，另外，雾的存在可以让人们感觉到景深的存在，所以需要保留一部分的雾：

2.3 软抠图(Soft Matting)

  作者注意到雾模型公式与图像抠图(抠图…怪怪的翻译)方程形式比较类似，所以才采用了软抠图算法来优化透射率。首先用t(x)来表示精确的透射率，那么估算的透射率与之差值为：

其中，L表示抠图拉普拉斯矩阵(the Matting Laplacian matrix)，而λ是一个正则化参数，上式的第一项是一个平滑项，第二项是一个数据项，L矩阵的第(i,j)项定义为：

其中，I_i和I_j是输入图像在i和j处像素的颜色；δ_ij表示Kronecker delta，μ_k和Σ_k表示区域w_k内的颜色的均值矩阵和协方差矩阵；U₃是一个3×3的单位矩阵；ε是一个正则化参数；|w_k|表示区域w_k内的像素的个数。

  通过求解下列稀疏线性系统，可以得到最优t：

其中，U是和L一样大小的单位矩阵,这里λ取一个很小的值(10^-4)。

  我们使用soft matting来细化已经填充了整个图像的粗糙的t,下图c就是soft matting的结果，b是数据项。

2.4 恢复场景亮度

  得到透射率图后，可以根据雾霾模型公式恢复出场景的亮度，但是，当t(x)接近0的时候，直接衰减项J(x)t(x)也是接近0，直接恢复J会容易受噪声干扰，因此需要对t做一个下界t₀的限制(论文取0.1)，这意味着，在非常密集的雾霾区域，会保留少量的雾霾。最终，J(x)表示为：


  由于场景的亮度通常不如大气中的光线明亮，所以去除雾霾后的图像看起来很暗淡，因此一般是对图像做一个曝光调整。

2.5 估算大气光

  雾霾图像的暗通道很好地近似于雾霾的密集度（见下图（b））。可以利用暗通道来改进大气光估计。首先选择暗通道中最亮的0.1%的像素。这些像素是最不透明的（在下图（b）中以黄线为界）。在这些像素中，选择输入图像I中强度最高的像素作为大气光。这些像素位于下图（a）中的红色矩形中，但这些像素可能不是整个图像中最亮的。这种基于暗通道先验的简单方法比“最亮像素”方法具有更强的鲁棒性。

2.6 实验结果

  这些实验结果都是论文里的图像，实际上，后面的研究也提出了soft matting的结果还是有点粗糙的，而且速度也是不够快，所以2011年，作者又提出导向滤波来获得更细腻的结果，导向滤波的运算主要集中在方框滤波（均值滤波），因此可以考虑通过积分图等的方法来优化，而且另一个重要的应用前提是opencv集成了挺多快速算法的，用起来也方便。

三、参考

[1] Single Image Haze Removal Using Dark Channel Prior

知君书记本翩翩，
为许从戎赴朔边。
红粉楼中应计日，
燕支山下莫经年。
– 唐 杜审言 《赠苏绾书记》