前言

TSP问题是指旅行商问题,即给定一组城市和每对城市之间的距离,求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合优化中的一个NP困难问题,在运筹学和理论计算机科学中有着广泛的应用。

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优(即最有利)的选择,从而希望导致结果是最好或最优的算法。贪心算法在有最优子结构的问题中尤为有效。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足,但是仍然可以通过贪心算法近似地得到全局最优解)。

贪心算法解决TSP问题的基本思想是:从某个城市出发,每次都选择距离当前城市最近的未访问过的城市作为下一个目的地,直到所有城市都被访问过,然后回到出发城市。这种方法虽然简单,但是不能保证得到最优解,因为它没有考虑全局的信息,只是局部贪心。但是它可以在较短的时间内得到一个可行解,作为启发式算法或者近似算法。

实验内容

给出n个城市以及任意两城市间的距离,要求旅行家在旅行n个城市时,各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市,使得所走的路径最短,输出结果,输出时要求有文字说明,使用C语言编写程序实现上述算法,并分许其算法复杂度

实验流程

根据实验内容设计算法伪代码进行算法描述
利用C++/C/Java等编程语言对算法伪代码进行工程化实现
输入测试用例对算法进行验证
列出算法时间复杂度模型并与计算机运行统计时间进行对比分析

实验过程

算法分析

这个问题是一个经典的组合优化问题,叫做旅行商问题(Traveling Salesman Problem,TSP)。它可以用图论的语言来描述:在一个带权重的完全无向图中,找一个权值最小的哈密尔顿回路。

要求使用C语言编写程序实现上述算法,并分析其算法复杂度。

这个问题是一个NP-hard问题,也就是说,目前还没有已知的多项式时间的算法来解决它。因此,对于较大规模的问题,我们通常需要使用启发式算法或近似算法来寻找次优解或近似解。

不过,对于较小规模的问题,我们可以使用动态规划算法来寻找最优解。动态规划算法的基本思想是将原问题分解为子问题,并利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。

对于旅行商问题,我们可以用一个二维数组dp[i][S]来表示从城市i出发经过集合S中的所有城市一次且仅一次后回到起始城市的最短路径长度13。其中S是一个二进制数,表示哪些城市被访问过。例如,如果有5个城市,S=10101表示访问了第1、3、5个城市。

我们可以从下往上逐步计算dp[i][S]的值。对于每个i和S,我们枚举下一个要访问的城市j,并比较dp[i][S]+dist[i][j]+dp[j][S-{j}]的大小,其中dist[i][j]表示城市i和j之间的距离,S-{j}表示去掉j后的集合。我们选择最小的值作为dp[i][S]的值,并记录下选择的j作为路径信息。具体地,有如下状态转移方程

dp[i][S] = min(dp[i][S], dp[j][S-{j}] + dist[i][j]) for all j in S and j != i

当我们计算完所有的dp[i][S]后,dp[0][2^n-1]就是从城市0出发经过所有城市并回到起点的最短路径长度。我们可以根据记录的路径信息反向推出具体的路线。

伪代码

输入城市数量n
输入城市间距离矩阵dist[n][n]

定义动态规划数组dp[n][2^n],表示从城市i出发经过集合S中的城市并回到起点0的最短路径长度
定义路径记录数组path[n][2^n],表示从城市i出发经过集合S中的城市并回到起点0的最短路径中,i后面的第一个城市

将dp和path都初始化为无穷大和-1
将dp[i][0]设为dist[i][0],表示从任意城市i回到起点0的最短路径长度
将path[i][0]设为0,表示从任意城市i回到起点0的最短路径中,i后面的第一个城市是0

遍历所有集合状态S(从1到2^n-1)
  遍历所有城市i(从0到n-1)
    如果S中不包含i,则跳过
    遍历所有城市j(从0到n-1)
      如果S中已经包含j,则跳过
      如果dp[i][S] > dp[j][S-(1<<(j-1))] + dist[i][j],则更新dp[i][S]和path[i][S]
        dp[i][S] = dp[j][S-(1<<(j-1))] + dist[i][j]
        path[i][S] = j

输出dp[0][(1<<n)-1],表示从城市0出发经过所有城市并回到起点0的最短路径长度

输出具体路线:
  令i = 0,S = (1<<n)-1
  当i不等于-1时循环
    输出i
    令j = path[i][S]
    如果j不等于-1,则令S = S - (1<<(j-1))
    令i = j

代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

#define MAXN 20 // 城市最大数量
#define INF INT_MAX // 无穷大

int n; // 城市数量
int dist[MAXN][MAXN]; // 城市间距离矩阵
int dp[MAXN][1<<MAXN]; // 动态规划数组
int path[MAXN][1<<MAXN]; // 路径记录数组

// 计算从城市0出发经过所有城市并回到起点的最短路径长度及其路径
void tsp() {
    // 初始化dp和path
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int S = 0; S < (1<<n); S++) {
            dp[i][S] = INF; // 最短路径长度设为无穷大
            path[i][S] = -1; // 路径记录设为-1
        }
    }
    // 边界条件:从任意城市i回到起点0
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dist[i][0]; // 最短路径长度就是i和0之间的距离
        path[i][0] = 0; // 路径记录为0
    }
    // 自底向上计算dp和path
    for (int S = 1; S < (1<<n); S++) { // 遍历所有集合状态
        for (int i = 0; i < n; i++) { // 遍历所有城市作为当前位置
            if ((S & (1<<(i-1))) == 0) continue; // 如果集合中不包含当前位置,则跳过
            for (int j = 0; j < n; j++) { // 遍历所有城市作为下一个位置
                if ((S & (1<<(j-1))) != 0) continue; // 如果集合中已经包含下一个位置,则跳过
                if (dp[i][S] > dp[j][S-(1<<(j-1))] + dist[i][j]) { // 如果找到更短的路径长度,则更新dp和path
                    dp[i][S] = dp[j][S-(1<<(j-1))] + dist[i][j];
                    path[i][S] = j;
                }
            }
        }
    }
}

// 输出结果及其文字说明
void output() {
    printf("从城市0出发经过所有城市并回到起点的最短路径长度为:%d\n", dp[0][(1<<n)-1]); // 最短路径长度就是dp[0][(1<<n)-1]
    printf("具体路线为:");
    int i = 0, S = (1<<n)-1; // 当前位置和集合状态(从起点和全集开始)
    while (i != -1) { // 直到没有下一个位置结束循环
        printf("%d ", i); // 输出当前位置
        int j = path[i][S]; // 下一个位置
        if (j != -1) S -= (1<<(j-1)); // 如果有下一个位置,则更新集合状态(去掉下一个位置)
        i = j; // 更新当前位置为下一个位置
    }
    printf("\n");
}

// 主函数
int main() {
    scanf("%d", &n); // 输入城市数量

    // 输入距离矩阵(如果两个城市之间没有直接连接,则输入INF)
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            scanf("%d", &dist[i][j]);
        }
    }

    tsp(); // 调用动态规划函数求解旅行商问题

    output(); // 输出结果及其文字说明

    return 0;
}

分析算法复杂度

时间复杂度:由于需要遍历n个城市和2n个集合状态,并对每个状态枚举n个可能的下一个位置,所以时间复杂度为O(n22^n)。
空间复杂度:由于需要使用两个二维数组来存储动态规划结果和路径信息,所以空间复杂度也为O(n
2^n)。

用例测试

首先输入一个整数n,表示城市的数量。
然后输入n行,每行有n个整数,表示城市间的距离矩阵。如果两个城市之间没有直接连接,则输入INF。
输入城市数量n:4
输入城市间距离矩阵dist[n][n](如果两个城市之间没有直接连接,则输入INF):

0 10 15 20
5 0 9 10
6 13 0 12
8 8 9 0

输出从城市0出发经过所有城市并回到起点0的最短路径长度为:35
输出具体路线为:0 1 3 2 0

总结

动态规划是一种求解最优化问题的方法,它通过分析所有可能的解,找出最优的解¹。动态规划适合求解具有重叠子问题最优子结构的问题²。旅行商问题就是这样一种问题,它具有以下特点:

  • 重叠子问题:从一个城市出发经过其他城市并回到起点的最短路径,可以分解为从该城市出发到其他城市的最短路径,再加上从其他城市经过剩余城市并回到起点的最短路径。这样,原问题就可以分解为若干个子问题,而这些子问题之间会有很多重复,因为不同的路径可能会经过相同的城市或相同的城市集合³。
  • 最优子结构:从一个城市出发经过其他城市并回到起点的最短路径,必然包含从该城市出发到其他城市的最短路径,以及从其他城市经过剩余城市并回到起点的最短路径。这样,原问题的最优解就可以由子问题的最优解构成³。

因此,使用动态规划来求解旅行商问题是一种有效的方法,它可以利用子问题之间的关系,避免重复计算,从而提高效率⁴。

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