电磁仿真原理——4. 矩量法（Moment Methods）

电磁仿真原理——MOM Method

手冢治bug

8971人浏览 · 2022-06-15 13:49:20

手冢治bug · 2022-06-15 13:49:20 发布

矩量法介绍

矩量法的经典例子

如下图所示是带有电荷的一段有限直导线，导线上的电荷分布是不均匀的（因为电荷存在同性互斥的作用，导致两端电荷密度大，中间电荷密度小），空间中任一点电位定义为Φ_e (r )，r为场点的位置，而r^，定义为源点。

在这里插入图片描述

将其分割成很多小区域，每一段的长度为Δx，那么原有的源点与场点的距离可表示为如下（为了分析简单，忽略z轴方向）：
定义一个近似的解：首先假定电荷的密度在每一小段Δx上是均匀的，那么可以将电荷密度定义为脉冲函数的累加：
u_n(x)是基函数，在变分法的介绍中，我们定义的是全域的基函数，但是全域的基函数不好找（满足完备和边界两个条件），而且对于通用的算法的时候，我们是没有办法知道需要计算什么模型的，不能保证这个基函数适用于所有模型。
所以我们需要定义一个子域的基函数，例如上述的例子，将其划分为不同的区域，每个区域中的边界条件，和场量变化是相对简单的。但这个基函数只适用于这个子域。
定义电位为1（导线内部和外部电位是相等的），对公式进行变形，利用了脉冲函数的特性将累加符号移到外部：
其中为了处理奇异点的问题（分母有可能为0），如果源点和场点位于不同的子段的时候分母肯定不为0，但是如果源点和场点位于同一个子段，则存在为0的情况，将半径固定为a，场点固定在导体表面，则距离改写为：
将累加符号展开，然后因为脉冲函数的定义，所以积分项会有变化，方程左边是精确解，方程右边是近似解，两个一减就是残差。有了残差以后，再选择加权函数与其内积，另加权函数内积为0（也就是余数R=0），那么就可以让近似解与精确解尽可能的相同了。
如果选择加权函数为（点匹配法）函数
得到矩阵如下，其中Z_mn对应就是对应的积分项，我们可以对比一下之前加权余数法的矩阵**A_mn**就很清楚了，在矩量法这里依然是<w_m,Lu_n>，加权函数也是一样，只不过是我们的算子不同，un不同。算子变成了积分算子，un是子域内作用，而不是全域的。
可以对比一下
近似来实现，

矩量法一般情况

上述是矩量法应用的简单例子，为了让大家更好理解，是对于特定的模型举例介绍的，这里将介绍矩量法更一般的情况下应该如何来做。
金属的带电导体产生的的电位可以表示成如下的形式：
在这里插入图片描述
其中关于格林函数G（r，r^，）详细解释可以参考电磁场理论——3.4 格林函数及其解，这里简单的解释一下它的含义，对于点源（r^，) 在空间中某点（r）的响应为G（r，r^，），像上述矩量法经典例子（静电场）中的格林函数就可以表示成如下形式：
在这里插入图片描述
如果响应位于金属表面，则其电位必须为常数，电位写成Φ，然后可以表示成：
ρ_s(r^，)为电荷密度，这个是未知的，是待求的，这里需要注意之前变分法的介绍中Φ这个符号通常是表示近似解，它是待求量，这里表示一个电位，是确定值，相当于变分法介绍中的源（g）。
在这里插入图片描述
接着定义一个局域的基函数来表示ρ_s(r^，)的近似解：

将其回代到Φ的公式中，将积分符号移到求和符号内得到：

选择一组加权函数与积分方程的内积（即之前介绍过的加权余数法）

将上述内积展开得到：
在这里插入图片描述
这里关键还是关于加权函数怎么选取，选取不同函数代表着不同方法（点匹配法、伽辽金法、子域法、最小二乘法）
实际上对于，这里积分符号较多，如果单纯应用点匹配法的话计算起来会简单一些。
将上述的积分公式写成紧凑的格式如下：
在这里插入图片描述

常见的积分方程

一般有两大类：

第一大类是Fredholm equations，它又可以分成三种积分方程：

因为是对t进行积分，所以积分后得到的是f关于x的函数；后面的两种积分方程前面的一项表示边界条件。其中K（x,t）是积分方程中的核函数，对应电磁问题中就是上面我们介绍的格林函数。Φ（t）就是我们的待求量；注意，很多情况下，核函数变换其实是很剧烈的，积分的作用就是起到了平滑的作用，另外Fredholm积分方程中普遍会有一个问题，就是我们之前提到的奇异点的问题（在我们上面讲的经典例子中，也有处理这个奇异点的步骤）
那么如果积分的边界处（a,b）有一个是未知的话，则表示成第二种积分方程：
第二大类是Volterra equations

这类积分方程在电磁问题种很少使用到，所以不过多讨论。

如何将微分方程和积分方程联立起来
如下所示，为一阶的微分方程，Φ(a) = constant（满足狄利克雷边界条件）

若要求出（a，b）之间任意一点的电位Φ，将微分方程左右都进行积分，就可以把它写成Volterra积分方程如下：
相似的，如果是一个二阶的微分方程的情况下，只要将方程左右做两次积分就可以了：

第一次积分，Φ^，(a)是纽曼边界条件；第二次积分需要在第一次积分的基础上利用分部积分得到：

格林函数

格林函数可以这么理解：看成是一个单位电量的点电荷在一个场点处产生的电位；
对于不同的问题，格林函数的形式有所不同：

Dirichlet problem：（狄利克雷问题）实际上也是一个泊松方程

上面R代表Φ的取值空间，B是指的R的边界，所以第二个方程代表边界条件
这里直接给出Φ的积分形式：（利用分部积分得到）

1、格林函数的物理意义：对于一个线性的二阶偏微分方程：LΦ = g；可以看成点电荷（g）产生的响应（Φ），所以将g换成点电荷δ（r，r^，），然后得到的响应电位Φ就是格林函数了；
对格林函数进行积分后得到场点处的点电荷
2、格林函数的性质：
（1）由于Dirichlet函数的性质可知，除了点电荷的位置以外，其他任何一点代入这个算子方程中都会得到LG（r，r^，）=0，也就是说在r = r^，处LG才不等于0，而在r为其他取值的时候，LG都是等于0的。

（2）因为格林函数是点电荷的响应，而点电荷本身就是满足对称性的，也就是说把点电荷从源点的位置A放到了场点的位置B，那么B在A处的格林函数和原来A在B处的格林函数值是相同的。

（3）格林函数要满足边界条件；

（4）应用散度定理可以得到如下性质，格林函数在源点处即e趋于0的时候（e = r-r^,），它的偏导数是不连续的（格林函数的方向导数的面积分是等于1的）
对于Dirichlet边界条件下格林函数的形式：
假定格林函数有两个函数来构成，因为我们要考虑边界的情况；

F定义为自由空间的格林函数，或者称为基础解，F在整个域内都满足如下公式：

U满足在整个域的空间内LU = 0的

还有一个问题就是边值问题：G = F + U满足：

而G = f在边界处B需要满足：

F表示F(r,r^,)在边界处的值，f是已知的边值条件