1.问题描述

一个石油传送网络可由一个加权有向无环图G表示。该图中有一个称为源点的顶点S ( 保证S的入度为0 ) , 从S出发 , 石油流向图中的其他顶点 。G中每条边上的权重为它所连接的两点间的距离。

在输送石油的过程中 , 需要有一定的压力才能使石油从一个点到达另一个点，但压力会随着路程的增加而降低 ( 即压力的损失量是路程的函数 ) 。

因此为了保证石油在网络的正常运输，在网络传输中必须保证在任何位置的压力都要不小于最小压力Pmin。为了维持这个最小压力，可在G中的一些或全部顶点放置压力放大器 , 压力放大器可以将压力恢复至该网络允许的最大压力Pmax。

可以设d为石油从压力Pmax降为压力Pmin所走的距离 , 在无压力放大器的情况下石油可运输的距离不超过d .

在该问题中 , 需要在G中放置最少的压力放大器 , 使得该传输网络从S出发，能够将汽油输送到图中的所有位置。

2.相关假设

①为了简化计算 , 每走一个单位长度就会降低一个单位压力且Pmin=0 , 即d=Pmax - Pmin = Pmax
② 起点S处的压力为Pmax
③如果存在一个点x , x有多条入边e[1]…e[n] , x处的压力p[x] = max(p[x], p[e[i].from] - e[i].cost)即x处的压力为到达x处的压力中的最大值
④图中每条边上的任何一点都要能到达: 例如 如果存在一个点x , x处的压力>Pmin , 但存在一条边 e , p[e.from] - e.cost < Pmin 这也是不合法的。

3.基本要求

①给出两种方法以解决上述问题，思考如何验证两种方法的正确性.
②比较两种方法的时间和空间性能，用图表显示比较结果。

4.数据集描述

①该数据集提供100组石油网络的数据 , 可自行选择进行测试 , 输入数据在input文件夹下, 标准输出数据在outputSTD文件夹下
②在Image文件夹下存放了每组结果的可视化图片 , 标注了边权 , 压力 , 是否放置放大器 . (注 : 仅供参考 , 可能存在多种方案)
③该数据集保证加权有向无环图 , 保证只有一个入度为0的源点
④根目录下的make.py为数据生成器 , 数据生成器依赖于库cyaron , 你可以阅读该文档以了解其使用方法和原理 cyaron并没有指出生成的dag只有一个源点 , 但他的写法确实只有一个源点

5. 数据集格式

输入数据 :

第一行包含三个整数 [n, m, l] , 源点均为 1 号节点

• n 表示节点个数
• m 表示边的个数
• l 表示最大边权 ( 可以认为是Pmax )

接下来 m 行 , 每行三个正整数[x, y, c]用来标识一条有向边

• x 表示起点
• y 表示终点
• c 表示边权

输出数据 :

一行一个整数 , 表示最少的放大器的个数

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题解

以图形化输出solve12.jpg为例

输入建立了从结点i到j的多条路径，其中有用的是最短路径和最长路径。用P_i 表示node_i 的压力，对于边node_i -> node_j，node_j 的压力等于node_i 的压力减去路程耗费cost。初始时只有node₁的压力是确定的，其它所有结点都根据石油运送过程中的路径损失、压力放大器的设置点来更新。

根据题意要求，对此题分别按最短边和最长边建图，node_i -> node_j 的最短边用来更新node_j 的压力，最长边用来作边界条件，检测该放大器设置是否合理。即，在保证最长边（最大cost）能到达的前提下，用最小边（最小cost）来更新node_j 的压力。

例如solve12.jpg，如果 node₇ 不放增压器，pre₇ = 19，虽然pre₈ 的值是用 node₆ -> node₈ 的耗费来更新的，但此时 node₇ 无法到达 node₈ ，因此 node₇ 必须要放增压器。

方法

本题方法众多，已了解到的同学们使用的方法就包括枚举、剪枝、prim、Floyd、分支定界等，在此介绍利用bfs贪心和利用dfs分支定界两种方法。

①bfs贪心：
首先，对于所给的图，记录它的拓扑序列，把源点 node₁ 插入到队列中，按照拓扑序列对图进行bfs遍历。
例如solve12.jpg：

按照插入边的顺序，它的拓扑序列为：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。用p来表示当前结点的压力大小。此时检查1，由于1是源点，故p = Pmax = 51。然后，检查所有与1相邻接的点，即2、3、6，由于1到2、3、6的最大花费的边都能够成功到达，因此1不必放加压器。于是，用最小花费的边来更新2、3、6结点的压力值。此时pre2 = 1，pre3 = 11，pre6 = 8。

然后考察2，此时p = 1。与2相邻接的点有4、5、6，按照结点序列先检查4，从2可以到达4，更新pre4 = 0；但发现从2不可以到达5，于是给结点2放上加压器，重新按照序列检查、更新2能到达的所有结点，也就是再从4开始更新一遍，置p = Pmax，pre2 = Pmax，pre4 = 50，pre5 = 10，pre6 = 29。

接着，按照上述步骤，依次检查图中的所有结点。总体思想是，按照拓扑序列检查到node_i 时，按顺序检查node_i 能到达的所有结点，如果发现从node_i -> node_j 不能到达，那么给node_i 放上加压器，重新按顺序检查、更新一遍 node_i 能到达的所有结点。检查时用最大边，更新时用最小边。

由于每次只是贪心地考虑当前结点，因此结果集可能会比标准结果集大一点，但经过测试，绝大多数情况下贪心的方法即是标准结果。

②dfs分支定界：
本题使用dfs进行递归也比较直观。使用一个结果集Vset[]表示当前图中加了放大器的点，初始时都是0。从源点1开始到结点n进行dfs，每搜索到一个新的结点，就对这个点进行左递归和右递归，左递归表示这个点不加压力放大器，右递归表示这个点要加压力放大器。递归完毕后保证每个点都被验证过0和1两种状态，有点类似穷举的方法，在全部可行解中找出最小的一个可行解。

在每次递归后，判断在当前加压情况下，从s出发是否能到达每一个点，如果能到达，说明这是一个可以考虑的分支，反之则说明这不是一个可考虑的分支。

如果这是一个可考虑的分支，那么要做对应的修改：如果得到的结果集比之前得到的小，即有更小的加压方式，那么把加压方式的数组和加压点个数进行更新。在所有修改操作后，筛选出结果集最小的一种情况。

反之，如果不是一个可考虑的分支，那么不做任何修改。判断该分支是否可行的方法也是利用了拓扑序列进行bfs遍历，可参考代码中相应部分。由于拓扑序列记录了每个点的入度，因此也可以顺便记录其出度，对于此方法，可以进行剪枝优化：把出度为0的点全部剪掉。

更新一个同学的做法：

③全排列：
每一个结点根据放置放大器和不放放大器可有1和0两种状态，求出所有结点状态的全排列，即列出所有可能的放置情况。然后，对于每一种放置情况，都对图进行一次遍历，看这种放置方法是否可行，对于所有的可行解维护一个最小值。

这种方法也是暴力枚举的思想，复杂度比较高，但确实写起来比较简单，遍历图也只需要一个函数就能完成。

文件下载地址

https://github.com/zj23333/CDDSA/