初识MIMO（二）：MIMO的信道容量

一. SVD简介

• SVD可以将一个矩阵分解为$U\Sigma V^H$的形式，U是大小为$N_{RX}$的方阵，V是大小为$N_{TX}$的方阵，$\Sigma$的大小是$N_{RX}\ast N_{TX}$，对角矩阵的值为矩阵的奇异值，奇异值的个数是行列的较小值。
• 在RX和TX不相等的情况下，可以化简H
• $H{H}^H$是一个自共轭对称矩阵，9.4表示的是对称矩阵的特征值分解的形式
• 非对称矩阵也是可以特征值分解的！

SVD我没有系统 学习过，这里就不班门弄斧了

二.确定性MIMO的信道容量

1.已知CSI时

• 信道容量是互信息定义的，总的来说，记住9.19就可以了
• 发射机和接收机增加V和H可以巧妙地SVD，如何得到的呢？CSI估计出了H
• SVD分解后MIMO变为独立的SISO的和了，挨个计算
• 最后是在发射功率和限制的情况下，去求最大的容量
• 而解法是注水法

2.发射端未知CSI

• 发射端未知时，首先假设发射天线功率平均分配得到9.31
• 再当所有信道奇异值相同时H最大，这是均值不等式

3.SIMO和MISO

• SIMO不多提，使用的也不多，结论就是接受数目越多容量越大，CSI也不能起到作用
• MISO是要大书特书的
  • 如果不知道CSI，我们就平均发送，得到的结果是和SISO一样的，但可靠性提高了，这就是分集
  • 如果知道CSI，我们可以对x预编码一个$\frac{h^H}{||h||}$这样接受信号的功率就提高了，而总增益$\sum (\frac{h^H}{||h||})$^2是不变的！这就是波束赋形！

三. 随机MIMO信道容量

• 这里引入了一些随机过程，所谓遍历行说的是他在时空上任何位置都是相同的，然后我们可以计算容量的期望作为平均期望
• 中断容量是和CDF对应的 ，可以从书中图看到

4. 信道容量和相关系数的简化运算

这一块对于信道的定义和后面相关系数为负的证明是很精彩的

四.MIMO信道仿真

1. 信道容量的CDF

代码展示

%-----------------------MIMO信道的CDF----------------%
%-----------------------author:lzx-------------------------%
%-----------------------date:09点34分-----------------%
% Ergodic_Capacity_CDF.m
%% 设置参数
clear;
figure
SNR_dB = 10; % 设定信噪比
SNR = 10.^(SNR_dB / 10.); % 转化信噪比
N_iter = 50000; % 迭代次数
grps = ['b:'; 'b-']; % 画图
C = zeros(1, N_iter); % 信道容量初始化
N_hist = 50; % 直方图分成多少份
CDFs = zeros(2, N_hist); % CDF 初始化
Rates = zeros(1, N_hist); %传输速率,这实际上就是容量

%% 主函数
for Icase = 1:2
    % 测试2*2和4*4两种情况
    if Icase == 1
        nT = 2;
        nR = 2; % 2x2
    else
        nT = 4;
        nR = 4; % 4x4
    end

    rank = min(nT, nR); % 秩
    I = eye(rank);

    for iter = 1:N_iter
        H = sqrt(1/2) * (randn(nR, nT) + 1j * randn(nR, nT)); % 先假设信道是完全独立的，信道就可以建模为瑞利信道
        C(iter) = log2(real(det(I + SNR / nT * (H' * H))));% 信道容量计算，H'*H本身计算结果就是实数，这里只是做一个类型转换
        % C(iter) = log2(det(I + SNR / nT * (H' * H)));% 信道容量计算
    end
    figure(1);
    hist = histogram(C, N_hist);
    PDF = hist.Values / N_iter;

    for i = 1:N_hist
        Rates(i) = (hist.BinEdges(i) + hist.BinEdges(i + 1)) / 2;
    end

    for i = 1:N_hist
        CDFs(Icase, i) = sum(PDF([1:i]));
    end

    figure(2);
    plot(Rates, CDFs(Icase, :), grps(Icase, :));
    hold on
end

%% 画图
xlabel('Rate[bps/Hz]');
ylabel('CDF');
axis([1 18 0 1]);
grid on;
set(gca, 'fontsize', 10);
legend('{\it N_T}={\it N_R}=2', '{\it N_T}={\it N_R}=4');

一些值得讨论的点

1. 为什么信道被表示成了H = sqrt(1/2) * (randn(nR, nT) + 1j * randn(nR, nT));？

这是一个经典的瑞利信道，为什么可以表示为瑞利信道？

这里可以回看书中第三章的内容，如果H是一个单纯的瑞利信道，这表明信道是完全独立的，每一个MS之间都没有关系，每一个BS之间也没有关系。

而陈老湿的这篇博客中也给出了解释，为什么无关的MIMO信道是瑞利信道https://zhuanlan.zhihu.com/p/372500189

2. 为什么MIMO的公式是信道直接和信号相乘而不是卷积？

当寻找这个问题的时候，居然看见了上面提到的博客，陈老湿和我有一模一样的疑问！不过他能够自己搜索资料回答我还是很佩服的，比我更厉害！这种能找到有相同思考的人实在是太惊喜了

陈老湿给出的结论是MIMO是按照平坦信道建模的，因此可以直接相乘，目前我只能这样理解，不过第三章的IST-IMETRA模型明明是考虑了TDL的，不理解。。。

3. C(iter) = log2(real(det(I + SNR / nT * (H’ * H))));，这里为什么要取实部？

这是输出一下结果就知道，结果就是个实数，因为是埃尔米特积的结果嘛，这里只是做一个类型转换，不然后面是无法用histogram进行统计的

2. SNR对信道容量的影响

代码展示

%------------------MIMO信道容量和信噪比的影响---------------%
%-----------------------author:lzx-------------------------%
%-----------------------date:21点43分-----------------%
% Ergodic_Capacity_vs_SNR.m
%% 参数设置
clear;
SNRs_dB=[0:5:20];       % 信噪比
SNRs=10.^(SNRs_dB/10.); 
N_SNR = length(SNRs);
N_iter=1000;            % 迭代次数
NTRs = [1 1; 1 2; 2 1; 4 2; 4 4];   % 天线个数，每一行是一种情况
Ncase = size(NTRs, 1);              % 测试不同情况的个数
C = zeros(Ncase, N_SNR);
%% 主函数
for iicase = 1:Ncase
    % 初始化天线个数
    NT = NTRs(iicase, 1);
    NR = NTRs(iicase, 2);
    rank = min(NT, NR);
    I = eye(rank);
    for iiiter = 1:N_iter
        H = sqrt(0.5)*(randn(NR,NT)+1j*randn(NR,NT));
        % 为了和单位矩阵保持一致
        if NR>=NT
            HH = H'*H; 
        else
            HH = H*H'; 
        end
        for iiSNR = 1:N_SNR
            C(iicase,iiSNR) = C(iicase,iiSNR)+log2(real(det(I+SNRs(iiSNR)/NT*HH)));
        end
    end
end
C = C/N_iter;
plot(SNRs_dB,C(1,:),'b-o', SNRs_dB,C(2,:),'b-<', SNRs_dB,C(3,:),'b-s',SNRs_dB,C(4,:),'b->', SNRs_dB,C(5,:),'b-^');
xlabel('SNR[dB]'); 
ylabel('bps/Hz'); 
set(gca,'fontsize',10); 
grid on
s1='{\it N_T}=1,{\it N_R}=1'; 
s2='{\it N_T}=1,{\it N_R}=2'; 
s3='{\it N_T}=2,{\it N_R}=1'; 
s4='{\it N_T}=2,{\it N_R}=2'; 
s5='{\it N_T}=4,{\it N_R}=4';
legend(s1,s2,s3,s4,s5)

一些思考

1. 为什么要有代码

		if NR>=NT
            HH = H'*H; 
        else
            HH = H*H'; 
        end

要和单位矩阵保持一致啊！这样才是满秩的

2. 看看信噪比带来的影响吧

首先SNR越大容量越大，这从公式里很容易看出来，其次

对比1*1和2*1，可以看到，容量几乎一样，这符合前文所述

MISO信道容量几乎不变，但分集带来了可靠性

看1*2的SIMO信道，他是SISO的NT倍

看一下4*4的MIMO，他是未知CSI的情况，它相当于rank个SISO信道

3. 频率注水法

代码展示

%------------------已知和未知CSI的信道容量对比---------------%
%-----------------------author:lzx-------------------------%
%-----------------------date:22点07分-----------------%
%OL_CL_Comparison.m
%% 设置参数
clear;clc;
SNRs_dB=[0:5:20];       % 信噪比
SNRs=10.^(SNRs_dB/10.);
N_SNR = length(SNRs);   % 信噪比长度
N_iter=1000;            % 迭代次数
NT=4;                   % 4*4矩阵
NR=4; 
rank=min(NT,NR);        % MIMO的秩
I = eye(rank);          % 单位矩阵
rho=0.2;                % 相关系数
Rtx=[1      rho     rho^2   rho^3;  % 发射相关矩阵
     rho     1      rho    rho^2;
     rho^2   rho     1       rho;  
     rho^3   rho^2   rho     1];
Rrx=[1      rho     rho^2   rho^3;  % 接受相关矩阵
    rho     1       rho     rho^2;
    rho^2   rho     1       rho; 
    rho^3   rho^2   rho     1];
C_OL=zeros(1,length(SNRs_dB));
C_CL=zeros(1,length(SNRs_dB));
%% 主函数    
for iiter=1:N_iter
   Hiid = sqrt(1/2)*(randn(NT,NR) + 1j*randn(NT,NR));   % 生成一个独立同分布H
   H = Rrx^(1/2)*Hiid*Rtx^(1/2);  % 窄带信道
   sigma = svd(H'*H);
   for i=1:N_SNR
      %random channel generation
      C_OL(i) = C_OL(i) + log2(det(I+SNRs(i)*(H'*H)/NT));
      % Gamma = Water_Pouring(sigma,SNRs(i),NT);
      Gamma = WaterFilling(H, rank, SNRs(i), NT);
      C_CL(i) = C_CL(i)+log2(det(I+SNRs(i)/NT*diag(Gamma)*diag(sigma)));
   end
end
C_OL = real(C_OL)/N_iter;  
C_CL = real(C_CL)/N_iter;
figure, plot(SNRs_dB, C_OL,'-o', SNRs_dB, C_CL,'-<');
xlabel('SNR [dB]');
ylabel('bps/Hz'); 
set(gca,'fontsize',10);
legend('Channel Unknown','Channel Known'); 
title('开环和闭环MIMO信道容量')
grid on

%-----------------------频域注水法-------------------%
%-----------------------author:lzx-------------------------%
%-----------------------date:09点34分-----------------%
function [gamma] = WaterFilling(H, rank, SNR, nT)
% 输入
% H：MIMO信道
% rank: 信道秩的大小
% SNR：信噪比
% nT:发射天线个数
% 输出
% gamma，注水法生成的系数

sigma = svd(H'*H);      % H'*H的奇异值，因为是艾爾特弥矩阵，奇异值和特征值相等
gamma = zeros(1, rank); % 注水法生成的gamma
index = 1:rank;         % 使用的天线的编号,初始化为全都使用
p=1;
while  p < rank
    index_used = [1:rank-p+1].';    % 被使用的天线的个数
    temp= sum(1./sigma(index(index_used)));
    mu = nT/(rank-p+1.)*(1+1/SNR*temp); % 计算mu
    gamma(index(index_used)) = mu-nT./(SNR*sigma(index(index_used)));   % 计算gamma
    if min(gamma(index))<0     %如果有＜0的结果，这个天线信道应该放弃使用，而把功率重新分配
        i=find(gamma==min(gamma)); % 找到＜0的index
        ii=find(index==i);          % 去除这个天线
        index_new=[index([1:ii-1]) index([ii+1:end])];
        clear index;
        index=index_new;
        p=p+1;
        clear gamma;
        gamma = zeros(1, rank);
    else
        p=rank;                    % 没有的时候就结束
    end
end

一些思考

这是我一直想做的一个仿真了首先要清楚

1. Hiid = sqrt(1/2)(randn(NT,NR) + 1jrandn(NT,NR)); % 生成一个独立同分布H
   H = Rrx(1/2)*Hiid*Rtx(1/2); % 窄带信道

这表明所有的MIMO信道都考虑窄带的，他和时延无关，这从第三章也可以看到，这把问题大大简化了

2. 注水法的代码实现

我自己进行了一些修改，在注释中也说的很清楚了，大致思路就是先按公式分配好，如果有小于0的去除该信道再按公式重新分配直到没有小于零的系数为止。

3. 为什么Rtx和Rrx是这样的矩阵，这是什么模型？

我没有弄清楚，希望有大佬能给我解答

4. 相关系数对信道容量的影响

代码展示

%------------------相关性对信道容量的影响----------------%
%-----------------------author:lzx-------------------------%
%-----------------------date:22点07分-----------------%

clear;
close;
SNR_dB=[0:5:20]; 
SNR_linear=10.^(SNR_dB/10);
N_iter=1000; 
N_SNR=length(SNR_dB);
%%----------------- 4x4 -----------------------------
nT=4; 
nR=4; 
n=min(nT,nR); 
I = eye(n);  
sq2=sqrt(0.5);
R=[1                      0.76*exp(0.17j*pi)   0.43*exp(0.35j*pi)    0.25*exp(0.53j*pi);
   0.76*exp(-0.17j*pi)   1                     0.76*exp(0.17j*pi)    0.43*exp(0.35j*pi);
   0.43*exp(-0.35j*pi)   0.76*exp(-0.17j*pi)   1                     0.76*exp(0.17j*pi);
   0.25*exp(-0.53j*pi)   0.43*exp(-0.35j*pi)   0.76*exp(-0.17j*pi)   1                  ];
C_44_iid=zeros(1,N_SNR); 
C_44_corr=zeros(1,N_SNR);
for iter=1:N_iter
   H_iid = sq2*(randn(nR,nT)+1j*randn(nR,nT));
   H_corr = H_iid*R^(1/2);
   tmp1 = H_iid'*H_iid/nT; 
   tmp2 = H_corr'*H_corr/nT;
   for i=1:N_SNR
      C_44_iid(i) = C_44_iid(i) + log2(det(I+SNR_linear(i)*tmp1));  %近似公式，见书（9.49）
      C_44_corr(i) = C_44_corr(i) + log2(det(I+SNR_linear(i)*tmp2));
   end
end
C_44_iid = real(C_44_iid)/N_iter; 
C_44_corr = real(C_44_corr)/N_iter;
plot(SNR_dB,C_44_iid, SNR_dB,C_44_corr,':');
xlabel('SNR [dB]'); 
ylabel('bps/Hz'); 
set(gca,'fontsize',10)
legend('iid 4x4 channels','correlated 4x4 channels');
title('信道相关信道容量')
grid on;

一些思考

这个仿真弄清楚前面的介绍就非常简单了，所以我几乎没有做什么修改，可以看一下这个程序的前提假设