注意：本文部分句子采用义译，确保原文意思不变，但不保证用词和原作完全一致，不要抠字眼。😎

使用正弦函数为模型添加位置信息

Transformer是只基于自注意力机制的序列到序列架构。因为并行计算能力以及高性能。使得它在NLP领域中大受欢迎。

现在常见的几个深度学习框架都实现了transformer，这让很多学生都能够方便使用到transformer。但是这也存在一个弊端，他会让我们忽略模型的一些细节。

在本文中我，不打算研究它的整体结构，毕竟现在已经有很多优秀的文章介绍其结构了。在本文中我仅对transformer结构的一部分进行探讨，就是位置编码。

当我阅读论文原文¹的时候，我的脑海里浮现出来一些问题，但是不幸的是，原文中没有提供足够的信息解答我的疑惑，所以在本文中，我想尝试将位置编码单拎出来，看看它是如何工作的。

注意：为了理解本文，请确保你在阅读本文之前已经熟悉了Transformer的基本架构。如果不懂可以看看相关的教程，比如图解transformer | The Illustrated Transformer

什么是位置编码？为什么我们需要位置编码。

对任何语言来说，句子中词汇的顺序和位置都是非常重要的。它们定义了语法，从而定义了句子的实际语义。RNN结构本身就涵盖了单词的顺序，RNN按顺序逐字分析句子，这就直接在处理的时候整合了文本的顺序信息。

但Transformer架构抛弃了循环机制，仅采用多头自注意机制。避免了RNN较大的时间成本。并且从理论上讲，它可以捕捉句子中较长的依赖关系。

由于句子中的单词同时流经Transformer的编码器、解码器堆栈，模型本身对每个单词没有任何位置信息的。因此，仍然需要一种方法将单词的顺序整合到模型中。

想给模型一些位置信息，一个方案是在每个单词中添加一条关于其在句子中位置的信息。我们称之为“信息片段”，即位置编码。

第一个可能想到的想法是为每个时间步添加一个$[0,1]$范围内的数字，其中0表示第一个单词，1表示最后一个单词。
这会导致什么问题？
问题之一是你无法计算出在特定范围内有多少个单词。换句话说，时间步长$\delta$在不同的句子中含义不一致。

作者意思是句子长度不同时，会导致某段区间内词汇数量不一致。

另一个想法是为每个时间步按一定步长线性分配一个数字。 也就是说，第一个单词是“1”，第二个单词是“2”，依此类推。
这种方法的问题在于，随着句子变长，这些值可能会变得特别大，并且我们的模型可能会遇到比训练时更长的句子，此外，我们的模型可能会忽略某些长度的样本。这会损害模型的泛化。

理想情况下，应满足以下标准：

• 每个时间部都有唯一的编码。
• 在不同长度的句子中，两个时间步之间的距离应该一致。
• 模型不受句子长短的影响，并且编码范围是有界的。（不会随着句子加长数字就无限增大）
• 必须是确定性的。

提出的方法

作者提出的编码是一种简单但是很精妙的方法，满足上述所有标准。

首先，它不是单独某个数字，它是一个d维向量，其中包含句子中特定位置的信息。其次，这种编码并没有集成到模型本身中，该向量用于为每个单词提供有关其在句子中位置的信息。

也就是说，其修改了模型的输入，添加了单词的顺序信息。

令

• $t$ 是句子中某词汇的位置。
• $\overrightarrow{p_t}\in {\mathbb{R}}^d$ 是其encoding。
• $d$是encoding的维度(其中$d\equiv {}_{2}0$ )

$f:\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^d$ 是将位置转化成位置向量 $\overrightarrow{p_t}$ 的函数，其定义如下：

$${\overrightarrow{p_t}}^{(i)}=f(t{)}^{(i)}:=\{\begin{array}{ll}\sin \left({\omega }_k\cdot t\right),& \text{ if }i=2k\\ \cos \left({\omega }_k\cdot t\right),& \text{ if }i=2k+1\end{array}$$

其中 ${\omega }_k=\frac{1}{10000^{2k/d}}$

上边有个$d\equiv {}_{2}0$，意思就是定义一个$d$，这个数除2之后余数为0。

我问了一下正在读统计学硕士的同学。

从函数定义可以推导出，频率沿向量维数递减。因此它在波长上形成了一个从$2\pi$到$10000\cdot 2\pi$的几何级数。

你也可以把$\overrightarrow{p_t}$ 想象成一个sin和cos交替的向量($d$可以被2整除 )：
$$\overrightarrow{p_t}={\left[\begin{array}{c}\sin \left({\omega }_1\cdot t\right)\\ \cos \left({\omega }_1\cdot t\right)\\ \sin \left({\omega }_2\cdot t\right)\\ \cos \left({\omega }_2\cdot t\right)\\ ⋮\\ \sin \left({\omega }_{d/2}\cdot t\right)\\ \cos \left({\omega }_{d/2}\cdot t\right)\end{array}\right]}_{d\times 1}$$

The intuition

你可能想知道，正余弦组合怎么能代表一个位置/顺序？

其实很简单，假设你想用二进制格式表示一个数字：

你可以看到不同位置上的数字交替变化。最后一位数字每次都会0、1交替；倒数第二位置上两个交替一次，以此类推。

找规律，第$i$位置上$2^i$个数据交替一次。

但是在浮点数的世界中使用二进制值是对空间的浪费，所以我们可以用正弦函数代替。事实上，正弦函数也能表示出二进制那样的交替。此外随着正弦函数频率的降低，也可以达到上图红色位到橙色位交替频率的变化。

下图使用正弦函数编码，句子长度为50（纵坐标），编码向量维数128（横坐标）。可以看到交替频率从左到右逐渐减慢。

其他细节

前面我们只提到了位置编码是给句子中的单词添加位置信息的，但具体是怎么实现的呢？

在论文原文中是直接将词嵌入向量和位置编码进行相加，即对于句子$[w_1\dots w_n]$中的每个词$w_t$， 最终的输入如下：

$${\psi }^{\prime }\left(w_t\right)=\psi \left(w_t\right)+\overrightarrow{p_t}$$

• $\overrightarrow{p_t}$ 位置编码
• $\psi \left(w_t\right)$ 词嵌入

为了实现，这个所以我们需要让位置编码的维数和词嵌入向量的维数相等。
$$d_{\text{word embedding }}=d_{\text{postional embedding }}$$

相对位置

正弦位置编码的另一个特点是，可以让模型获取相对位置。以下是原文中的一段话:

We chose this function because we hypothesized it would allow the model to easily learn to attend by relative positions, since for any fixed offset $k$,$P{E}_{pos+k}$ can be represented as a linear function of $P{E}_{pos}$.

但为什么这一说法成立？为了充分理解原因，可以看一下这篇文章²（点右上角参考）。不看也可以，我在这里总结了一个简短一点的版本：

对于对应频率${\omega }_k$的每个正余弦对，有一个线性变换$M\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ (独立于$t$ )，使下列等式成立：
$$M.\left[\begin{array}{l}\sin \left({\omega }_k\cdot t\right)\\ \cos \left({\omega }_k\cdot t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\sin \left({\omega }_k\cdot (t+\varphi )\right)\\ \cos \left({\omega }_k\cdot (t+\varphi )\right)\end{array}\right]$$

证明：

令$M$ 是一个 $2\times 2$的矩阵，我们想得到$u_1,v_1,u_2$ and $v_2$ 使下式成立：
$$\left[\begin{array}{ll}{u}_1& v_1\\ u_2& v_2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}\sin \left({\omega }_k\cdot t\right)\\ \cos \left({\omega }_k\cdot t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\sin \left({\omega }_k\cdot (t+\varphi )\right)\\ \cos \left({\omega }_k\cdot (t+\varphi )\right)\end{array}\right]$$

使用三角函数的定理，我们可以将等式右边展开如下：

$$\left[\begin{array}{ll}{u}_1& v_1\\ u_2& v_2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}\sin \left({\omega }_k.t\right)\\ \cos \left({\omega }_k.t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\sin \left({\omega }_k.t\right)\cos \left({\omega }_k.\varphi \right)+\cos \left({\omega }_k.t\right)\sin \left({\omega }_k.\varphi \right)\\ \cos \left({\omega }_k.t\right)\cos \left({\omega }_k.\varphi \right)-\sin \left({\omega }_k.t\right)\sin \left({\omega }_k.\varphi \right)\end{array}\right]$$

普通的矩阵乘法运算将其拆开：

$$\begin{array}{rl}& u_1\sin \left({\omega }_k.t\right)+v_1\cos \left({\omega }_k.t\right)=\cos \left({\omega }_k.\varphi \right)\sin \left({\omega }_k.t\right)+\sin \left({\omega }_k.\varphi \right)\cos \left({\omega }_k.t\right)\\ & u_2\sin \left({\omega }_k\cdot t\right)+v_2\cos \left({\omega }_k.t\right)=-\sin \left({\omega }_k.\varphi \right)\sin \left({\omega }_k.t\right)+\cos \left({\omega }_k.\varphi \right)\cos \left({\omega }_k.t\right)\end{array}$$

通过求解上述方程我们可以得到：

$$\begin{array}{ll}{u}_1=\cos \left({\omega }_k\cdot \varphi \right)& v_1=\sin \left({\omega }_k\cdot \varphi \right)\\ u_2=-\sin \left({\omega }_k\cdot \varphi \right)& v_2=\cos \left({\omega }_k\cdot \varphi \right)\end{array}$$

所以最终的变换矩阵$M$ 是：

$$M_{\varphi ,k}=\left[\begin{array}{cc}\cos \left({\omega }_k\cdot \varphi \right)& \sin \left({\omega }_k\cdot \varphi \right)\\ -\sin \left({\omega }_k\cdot \varphi \right)& \cos \left({\omega }_k\cdot \varphi \right)\end{array}\right]$$

通过上述推到可以看到，最终的转换不依赖于$t$。注意，可以发现矩阵$M$与旋转矩阵非常相似。

旋转矩阵是一个数学概念，这里需要自己查一下相关资料。

类似地，我们可以为其他正余弦对找到$M$，最终我们可以将$\overrightarrow{p_{t+\varphi }}$表示为任何固定偏移量$\varphi$的$\overrightarrow{p_t}$的线性函数。这一特性使模型很容易学到相对位置信息。

正弦位置编码的另一个特性是相邻时间步之间的距离是对称的，并随时间衰减。

下图是所有时间步位置编码的点乘积可视化：

FAQ

为什么位置编码是和词嵌入相加而不是将二者拼接起来？

我找不到这个问题相关的理论依据。求和（与拼接相比）保存了模型的参数，现在我们将初始问题改为“在单词中添加位置嵌入有缺点吗?” 。这我会回答，不一定！

首先，如果我们回想一下上边的第一张可视化图，我们会发现位置编码向量的前几个维度用于存储关于位置的信息（注意，虽然我们的示例很小只有128维，但论文中的输入维度是512）。由于Transformer中的嵌入是从头开始训练的，所以设置参数的时候，可能不会把单词的语义存储在前几个维度中，这样就避开了位置编码。

作者意思是，虽然没有进行直接concat，但是进行了隐式concat。位置编码前半段比较有用，所以在编码嵌入向量的时候，将其语义信息往后放。

因此我认为最终的Transformer可以将单词的语义与其位置信息分开。此外，也没有理由支撑将二者分开拼接有什么好处。也许这样相加为模型提供比较好的特征。

更多相关信息可以看：

1. Why add positional embedding instead of concatenate? #1591 ³
2. Discussion：Positional Encoding in Transformer⁴

位置信息层层传递之后不会消失吗？

Transformer里加了残差连接，所以模型输入的信息可以有效地传播到其它层。

为什么同时使用正弦和余弦？

个人认为，只有同时使用正弦和余弦，我们才能将$sine(x+k)$和$cosine(x+k)$表示为$sin(x)$和$cos(x)$的线性变换。好像不能只用正弦或者只用余弦就能达到这种效果。如果你能找到单个正余弦的线性变换，可以在评论区补充。

总结

感谢阅读，希望这篇文章能对你有用。如果有问题欢迎批评指正。
引用格式：

@article{kazemnejad2019:pencoding,
  title   = "Transformer Architecture: The Positional Encoding",
  author  = "Kazemnejad, Amirhossein",
  journal = "kazemnejad.com",
  year    = "2019",
  url     = "https://kazemnejad.com/blog/transformer_architecture_positional_encoding/"
}

原文信息 | Original blog link

原文链接：Transformer Architecture: The Positional Encoding

作者信息：

参考

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1. Attention Is All You Need ↩︎

2. Linear Relationships in the Transformer’s Positional Encoding ↩︎

3. Why add positional embedding instead of concatenate? #1591 ↩︎

4. Discussion：Positional Encoding in Transformer ↩︎