1. 加法器最高位的概念

以32位加法器作为例子，
ALU中使用单独1位相加，记录是否进位，逐层传递的方式完成整个32位的加法。
注：ALU：Arithmetic and logical unit 算数逻辑单元

其中每一个用来计算两个数单独1位的运算器叫作：全加器；
其数字逻辑图如下所示：
左侧：AB为输入端口，Cin为进位输入端口
右侧：S为输出端口（和），Cout为进位输出端口
其真值表如下图所示：

2.加法器的构成

n-bit加法器由n个上面提到的全加器构成，并进行串联，如下图所示
这是一个4-bit加法器。
这是一个32-bit加法器

3. 关于溢出与进位

溢出的概念：
溢出：overflow，运算结果超出了正常的表示范围
溢出仅针对有符号数的运算

• 两个正数相加，结果为负数
• 两个负数相加，结果为正数

从以上概念可以得到3个问题：

1. 无符号数不存在溢出的概念，为什么？
2. （有符号数）正数相加的进位与溢出有什么关系？
3. 对于为什么两个负数相加的进位不会产生溢出？负数的进位与溢出有什么关系？

问题1：无符号数不存在溢出

无符号数的最高位不是符号位，因此当两个无符号数最高位产生进位时，也会导致我们得不到原本想要得到的结果，但是这个结果是取模之后的。

例如：
（十进制）8 + 12 = 20
（二进制）1000 + 1100 = 1 0100
按照4位加法器设计，这里最高位Cout = 1，剩下的4位结果为：0100 = （十进制）4，对应20 % 16 的结果。

问题2：（有符号数）正数相加的溢出与进位的关系

正数是有符号数，因此最高位为符号位 = 0；
首先说溢出：
例如：0100 + 0100 = 1000 （对应有符号数 4 + 4 = -8）
这就是溢出：两个正数相加得到了一个负数

那有没有两个正数相加得到了一个正数，但是却发生数值错误的例子呢？
无，因为正数的符号位为0，就算后面的位再怎么进位也不可能使得前面符号位变为1之后再发生进位，这就好比：十进制中两位数的最大值为 99 + 99 不可能变成一个首位为2的三位 数是一样的。

因此对于2个正数相加而言（有符号数），不存在进位的概念，最多只会发生溢出。

问题3：两负数相加的进位与溢出

负数是有符号数，最高位为1
溢出如下（实质上下面两种是一种情况，见最后的真值表）：
1000 + 1000 = 1 0000 （ -8 + -8 = 0）
1100 + 1000 = 1 0100 （-4 + -8 = 4）
进位的情况如下：
1100 + 1100 = 1 1000（-4 + -4 = -8）

总结

经过上面的简单分析，发现其实情况还是很多的，会不会有遗漏呢，使用真值表可以完美解决这个问题，同时得出结论使用一个异或器就可以完成对于加法器中的溢出判断。
真值表如下所示：

标注出的两种情况会发生溢出，相应已经在上面的3个问题中举出了例子。

使用如下的电路完成对于溢出的判断

当输出为1时（即两者不相等，异或之后结果为1），即为溢出。