零.前言

按照PPT的分章来决定每篇的内容长度与分节。

一.阶跃函数ε

1.1 定义

1.2 性质

阶跃函数的积分是斜坡函数，即：

二.冲激函数δ

2.1 定义

其推导过程为：

2.2 关系

2.3 作用

冲击函数可以描述间断点的导数

三.冲激函数的广义函数定义

3.1 函数的定义

3.1.1 普通函数的定义

就我们学的那种 映射的概念。

3.1.2 广义函数的定义

很类似于普通函数，但是广义函数的自变量换成了检验函数：φ(t)

当然，定义式不唯一。

3.2 冲激函数的广义函数定义

我再简言之：也就是说，一个冲激函数作用于一个检验函数（其实就是被作用的函数），两个函数的积的积分刚好能等于检验函数t=0的值。
也就是说，满足这个定义式，且对任意检验函数都有用的函数，就可以叫冲激函数了。
如果还有不懂可以看后面的一节内容

四.冲激函数的取样性质

4.1 零点取样

$$\begin{gathered} f(t)\delta (t)=f(0)\cdot \delta (t) \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot \delta (t)dt=f(0)\cdot {\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=f(0) \end{gathered}$$
注意：积分区间要包含冲激所在的时刻t=0
例题：

• 如果积分区域不包含t=0，则结果为0
• 若包含，则等于f(t=0)，因为${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=1$

4.2 延迟取样

$$\begin{gathered} f(t)\delta (t-a)=f(a)\cdot \delta (t-a) \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot \delta (t-a)dt=f(a) \end{gathered}$$

注意：积分区间要包含冲激所在的时刻t=a
例题：注意推导第三个公式，如何表示成ε(t)

• 如果积分区域不包含t=a，则结果为0

五.冲激函数的导数

5.1 冲激偶δ’(t)

5.2 定义

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t)dt=-f^{\prime }(0)$$
当然，同理有：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t-a)dt=-f^{\prime }(a)$$
例题：

5.3 n阶导

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\delta }^n(t)dt=(-1{)}^n{f}^n(0)$$

六.冲激函数的尺度变换

6.1 定义

$$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$
其n阶导的变换，也是通式：
$${\delta }^n(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}{\delta }^n(t)$$
证明（不需要记）：

6.2 推广

6.3 例题

这样记：δ(t-a)取样f(a), δ'(t-a)取样-f(a)

七.单位脉冲序列与单位阶跃序列

类比连续函数，离散的概念定义一样：