零.前言

按照PPT的分章来决定每篇的内容长度与分节。

一.阶跃函数ε

1.1 定义

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1.2 性质

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阶跃函数的积分是斜坡函数,即:
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二.冲激函数δ

2.1 定义

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其推导过程为:
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2.2 关系

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2.3 作用

冲击函数可以描述间断点的导数
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三.冲激函数的广义函数定义

3.1 函数的定义

3.1.1 普通函数的定义

就我们学的那种 映射的概念。

3.1.2 广义函数的定义

很类似于普通函数,但是广义函数的自变量换成了检验函数:φ(t)
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当然,定义式不唯一。

3.2 冲激函数的广义函数定义

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我再简言之:也就是说,一个冲激函数作用于一个检验函数(其实就是被作用的函数),两个函数的积的积分刚好能等于检验函数t=0的值。
也就是说,满足这个定义式,且对任意检验函数都有用的函数,就可以叫冲激函数了。
如果还有不懂可以看后面的一节内容

四.冲激函数的取样性质

4.1 零点取样

f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) ⋅ δ ( t ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t ) d t = f ( 0 ) ⋅ ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = f ( 0 ) f(t)δ(t)=f(0) \cdot δ(t) \\ \\ \\ \int_{-∞}^{+∞} f(t) \cdot δ(t)dt = f(0) \cdot \int_{-∞}^{+∞} δ(t) dt = f(0) f(t)δ(t)=f(0)δ(t)+f(t)δ(t)dt=f(0)+δ(t)dt=f(0)
注意:积分区间要包含冲激所在的时刻t=0
例题:
**在这里插入图片描述**

  • 如果积分区域不包含t=0,则结果为0
  • 若包含,则等于f(t=0),因为 ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 \int_{-∞}^{+∞} δ(t) dt=1 +δ(t)dt=1

4.2 延迟取样

f ( t ) δ ( t − a ) = f ( a ) ⋅ δ ( t − a ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) ⋅ δ ( t − a ) d t = f ( a ) f(t)δ(t-a)=f(a) \cdot δ(t-a) \\ \\ \\ \int_{-∞}^{+∞} f(t) \cdot δ(t-a)dt = f(a) f(t)δ(ta)=f(a)δ(ta)+f(t)δ(ta)dt=f(a)

注意:积分区间要包含冲激所在的时刻t=a
例题:注意推导第三个公式,如何表示成ε(t)
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  • 如果积分区域不包含t=a,则结果为0

五.冲激函数的导数

5.1 冲激偶δ’(t)

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5.2 定义

∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ′ ( t ) d t = − f ′ ( 0 ) \int_{-∞}^{+∞} f(t) δ'(t) dt=-f'(0) +f(t)δ(t)dt=f(0)
当然,同理有:
∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ′ ( t − a ) d t = − f ′ ( a ) \int_{-∞}^{+∞} f(t) δ'(t-a) dt=-f'(a) +f(t)δ(ta)dt=f(a)
例题:
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5.3 n阶导

∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ n ( t ) d t = ( − 1 ) n f n ( 0 ) \int_{-∞}^{+∞} f(t) δ^{n}(t) dt=(-1)^{n}f^{n}(0) +f(t)δn(t)dt=(1)nfn(0)

六.冲激函数的尺度变换

6.1 定义

δ ( a t ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t ) δ(at) =\frac{1}{\lvert a\rvert}δ(t) δ(at)=a1δ(t)
其n阶导的变换,也是通式:
δ n ( a t ) = 1 ∣ a ∣ 1 a n δ n ( t ) δ^n(at) =\frac{1}{\lvert a\rvert}\frac{1}{a^n}δ^n(t) δn(at)=a1an1δn(t)
证明(不需要记):
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6.2 推广

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6.3 例题

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这样记:δ(t-a)取样f(a), δ'(t-a)取样-f(a)
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七.单位脉冲序列与单位阶跃序列

类比连续函数,离散的概念定义一样:
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