我们将直接进入统计学的核心——均值向量和协方差矩阵的计算，以及它们在分析数据集时的关键作用。我们将以一个具体的例子，包含身高和体重的数据集，来演示如何从头到尾计算这两个统计量，并解释其意义。

均值向量计算

均值向量（Mean Vector）提供了数据集中每个特征的平均值。对于含有$n$个观测值的$m$个特征的数据集，均值向量是一个$m$维向量，其中每个元素是对应特征的均值。

公式:
$$\mu =[{\mu }_1,{\mu }_2,...,{\mu }_m]$$
其中，${\mu }_j=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}$

• ${\mu }_j$是第$j$个特征的均值。
• $x_{ij}$是第$i$个观测的第$j$个特征值。
• $n$是观测值的数量。

例子:
考虑身高和体重的数据集，包含4个观测值：

• 身高: $[160,165,170,175]$
• 体重: $[55,60,65,70]$

计算均值向量:

• 平均身高: ${\mu }_{\text{身高}}=\frac{160+165+170+175}{4}=167.5$
• 平均体重: ${\mu }_{\text{体重}}=\frac{55+60+65+70}{4}=62.5$

因此，均值向量为: $\mu =[167.5,62.5]$。

协方差矩阵计算

协方差矩阵（Covariance Matrix）描述了数据集中特征间的相互变化趋势。它不仅展示了单个特征的变异性（通过方差），还显示了特征之间的协方差。

公式:
对于$m$个特征，协方差矩阵是一个$m\times m$矩阵，其中元素定义为:
$${\Sigma }_{jk}=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_{ij}-{\mu }_j)(x_{ik}-{\mu }_k)$$

• ${\Sigma }_{jk}$是特征$j$和特征$k$之间的协方差。
• ${\mu }_j$和${\mu }_k$分别是特征$j$和$k$的均值。
• $n$是观测值的数量。

例子:
使用上述身高和体重数据计算协方差矩阵。

首先，我们已知:

• ${\mu }_{\text{身高}}=167.5$
• ${\mu }_{\text{体重}}=62.5$

计算方差和协方差:

• 方差(身高): 使用公式计算得 ${\Sigma }_{11}$。
• 方差(体重): 使用公式计算得 ${\Sigma }_{22}$。
• 协方差(身高, 体重): 使用公式计算得 ${\Sigma }_{12}={\Sigma }_{21}$。

现在，我们将直接计算这些值。

让我们计算每个特征的方差和身高与体重之间的协方差，以构建协方差矩阵。

在计算完毕后，我们得到以下结果：

• 均值向量: 对于身高和体重，均值分别为 $167.5$ 和 $62.5$，因此均值向量为 $\mu =[167.5,62.5]$。

• 协方差矩阵:
  $$\left[\begin{array}{cc}41.67& 41.67\\ 41.67& 41.67\end{array}\right]$$
  其中，对角线元素（$41.67$）代表身高和体重的方差，显示了它们各自的变异程度；非对角线元素（同样是$41.67$）代表身高和体重之间的协方差，指示了它们之间的正相关性。

import numpy as np

# 数据
heights = np.array([160, 165, 170, 175])
weights = np.array([55, 60, 65, 70])

# 计算均值
mean_height = np.mean(heights)
mean_weight = np.mean(weights)

# 计算方差和协方差
variance_height = np.var(heights, ddof=1)
variance_weight = np.var(weights, ddof=1)
covariance_height_weight = np.cov(heights, weights)[0, 1]

# 构造协方差矩阵
covariance_matrix = np.array([[variance_height, covariance_height_weight],
                              [covariance_height_weight, variance_weight]])

mean_height, mean_weight, covariance_matrix

(167.5,
 62.5,
 array([[41.66666667, 41.66666667],
        [41.66666667, 41.66666667]]))

通过这些计算，我们可以看到身高和体重在该数据集中呈现出强烈的正相关性：随着身高的增加，体重也相应增加。均值向量简明地总结了每个特征的平均水平，而协方差矩阵深入揭示了特征间的相互关系，是理解数据集多维性质的关键。