MATLAB之牛顿迭代法

一、算法原理

1、迭代公式
将 f (x)在点xk做Taylor展开f(x)=f(xk)+f’(xk)(x-xk)+…，则有

由上式可得牛顿迭代公式为：

X（k+1）=X(k)- f (X(k))/f’(X(k))

2、牛顿法的几何意义
由上式可知，如果如果我们选择x0作为初始点，点（x0，f（x0））的切线方程为y-f(x0)=f’(x0)(x-x0),该切线方程与x轴交点的横坐标为
X（1）=X(0)- f (X(0))/f’(X(0))，然后以x1为初始点，继续循环上述过程。在该过程中，不断的对f(x)做切线，因此牛顿迭代法也叫且宪法。
3、牛顿法的收敛性
设f (x)在[a, b]上存在二阶连续导数且满足下列条件：
（1）f (a)*f (b) < 0；
（2）f’(x) ≠0；
（3）f’’(x) 在区间[a,b]上不变号；
（4）取x0∈ [a, b]，使得f’’(x)f (x0) >0
则牛顿迭代序列{xk}二阶收敛于f (x)在[a, b]上的唯一单根x。
需要注意的是，牛顿迭代法的收敛性取决于x0的选择。

二、matlab程序

```bash
clc
clear
syms x
h=x.^3+x.^2-1;
fplot(h);
x0=NW(h,1,100);
function result=NW(h,x,n)
f=matlabFunction(h);  %将符号函数变为匿名函数h=@（x） x.^3+x.^2-1
f1=matlabFunction(diff(h));
X(1)=x;
i=2;
while 1
    X(i)=X(i-1)-f(X(i-1))/f1(X(i-1));
    if abs(f(X(i))) <1e-6
         result=X(i);
         return;
    end
    if i>n
        result=X(i);
        return;
    end
    i=i+1;
end
end