一、问题描述

提高道路通行能力是现代城市交通面临的重要课题。

道路通行能力衡量参数：

交通流：在单方向道路上行驶的一辆辆汽车组成的连续流体。用流量、速度、密度3个参数描述其基本特征。

流量q：某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数（单位辆/h）；

速度v：某时刻通过道路某断面的车辆速度（km/h）；

密度k：某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数（辆/km）。

3个参数之间的数学关系：

                                                                               (1)

要提高道路通行能力，即增大q值，有两个途径：提高速度v，或者增加密度k。但是，现实存在这样的矛盾（问题点）：

1. 车辆速度越快，刹车距离变大，车间距需要增大，车辆密度由此下降。
2. 车辆密度越大，刹车距离变小，车辆速度需要降低。

所以，需要综合这些因素进行综合分析。

刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止行驶的距离。

道路通行能力：在安全条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数（辆/h）。

二、问题分析

要解决的问题是找到最佳的车速，以达到最大的道路通行能力。问题求解的步骤

①求解刹车距离与车速之间的关系；

②求解道路通行能力与刹车距离之间的关系；

③求解道路通行能力与车速之间的关系。

三、符号说明

：车辆密度为0时的车速，即理论上的最高车速，称畅行车速；
：速度为0时的密度，称阻塞密度；
：最大车流量；
：最大车流密度；
：最大车流速度。
：刹车距离（m）；
：反应距离(m)；
：制动距离(m)；
F：刹车制动力(N)；
：反应时间(s)；
N：道路通行能力(辆/h)。
D：最小车头间隔（m）。

四、模型假设

假设1：经验表明，道路上车辆密度增加时，司机就会降低车速。速度和密度之间存在如下关系

假设2：刹车距离d为反应距离d1 与制动距离d2 之和。

假设3：反应距离d1 与车速v成正比，比例系数为反应时间。

五、模型建立

5.1车流量与速度的模型

将假设1代入到数学模型(1)中，得到流量与密度的关

同时，也可以得到流量与速度的关系

5.2刹车距离与速度的模型

制动力F做功为 ；车速从v到0，动能变化为 ，于是得到

其中， ，a为减速度，反应了道路的减速状况，雨天路滑，道路减速效果差， 值大。

根据刹车距离d为反应距离 与制动距离 之和，得到

5.3道路通行能力与速度的模型

道路通行能力

最小车头间隔D主要由刹车距离d决定：

：车身标准长度与两车间安全距离之和，取固定值。

于是，得到

可以看出，道路通行能力与汽车速度、司机反应时间、道路情况、车辆大小等因素大小有关。

六、模型求解
6.1求解系数c1、c2

利用机器学习中的一元线性回归方法，根据测试数据对模型作拟合；

或者，调查交通工程学的相关资料，得到司机反应时间c1 为0.7~1s，系数c2 约为 （ ）

6.2 道路通行能力最大时对应的车速

根据正数的不等式性质，有

道路通行能力最大值为

对应速度为