图论 ——五种最短路算法
文章目录前言一、最短路是什么?二、朴素Dijkstra算法三、堆优化版Dijkstra算法四、Bellman-Ford算法五、Spfa算法六、Floyd算法总结前言本篇文章讲的是图论里的最短路问题,如果你还没有图论的基础知识,可以看看我之前的文章:DFS(深度优先算法)BFS(广度优先算法)邻接表和邻接矩阵、树的遍历 (DFS和BFS)这些都是关于图论的基本知识。一、最短路是什么?最短路径: 从某
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前言
本篇文章讲的是图论里的最短路问题,如果你还没有图论的基础知识,可以看看我之前的文章:
DFS(深度优先算法) BFS(广度优先算法)邻接表和邻接矩阵、树的遍历 (DFS和BFS)
这些都是关于图论的基本知识。
一、最短路是什么?
最短路径: 从某个点A(位置)到另一个点B(位置)的最短距离,实现方法:点A途中可以经过很多个点C,然后通过不断更新点A到途中点 C 的最短距离,最后实现最短距离到达 点B。
A -> C1 -> C2 -> C3 -> B
最短路径的分类:
单源最短路:图中的一个点到其余各点的最短路径
多源最短路:图中每两个点的最短路径
框架图解:(如果看不清的话,放大浏览器再观看)
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图中稠密图用邻接矩阵,稀疏图用邻接表,具体了解:
二、朴素Dijkstra算法
Dijkstra算法(迪杰斯拉算法):该算法的特点是从起始点开始,采用贪心算法的策略,采用加点的的方式,每次遍历到起始点距离最近且从未被访问过的顶点的邻接节点t,将该点t加入集合S中,直到扩展到终点位置。
时间复杂度:O(n ^ 2)
思想(操作):
- 将图上的点分为两个集合:分别是S集合和N集合
- S:表示访问过的点(用st数组存储)
- N:表示未访问过的点
- 将N集合中的点按到S集合距离最短依次加入到S集合中
- 用刚到S集合中的点t去更新集合N到起始点的距离(这一步也就是松弛操作)
图解:
步骤: dist[ ]:每个点到起始点的距离 st[ ]:是否加入到了s集合中
- 初始化距离:把每个点都初始化为0x3f3f3f3f(无穷大)
- 进行n层循环:遍历dist数组,找到一个不在S集合中并距离S集合最短的点t,每一层循环都将找到的点t将它放入S集合中(st[t] = true)
- 用找到的点t去更新N集合到起始点的距离(松弛操作)
代码 + 注释:
const int N = 1e5 + 10;//多少个点 int dist[N]; //每个点到起始点的距离 bool st[N]; //S集合 void dijkstra(){ memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist);//初始化距离 dist[1] = 0; for(int i = 1; i <= n; i ++){ //进行n次循环 int t = -1; //设找到的点初始化为1 for(int j = 1; j <= n; j ++){ if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) //如果该点j没在S集合中并且没更新或者有距离S集合更小的点 t = j; //找到该点 } st[t] = true;加入集合S中 //松弛操作,用该点更新到s的距离 for(int j = 1; j <= n; j ++){ dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]); } } if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) puts("impossible");//如果为无穷大说明到不了n点 else printf("%d", dist[n]); }
三、堆优化版Dijkstra算法
堆优化版Dijkstra算法:堆优化版Dijkstra算法是对朴素Dijkstra算法遍历所有点比较找出距离最近的点这一步骤,使用小根堆(优先队列)对这段代码进行优化:
for(int i = 1; i <= n; i ++){ //进行n次循环 int t = -1; //设找到的点初始化为1 for(int j = 1; j <= n; j ++){ if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) //如果该点j没在S集合中并且没更新或者有距离S集合更小的点 t = j; //找到该点 }
时间复杂度:O(m * logn)
思想: typedef pair<int, int>PII;
用小根堆priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>>heap;存储距离和点,堆自动排序,可以排序取距离S集合小的点,然后每次取不在集合S中距离最段的点,再进行松弛操作,最后将松弛操作的点插入小根堆中
步骤:
- 初始化距离:把每个点都初始化为0x3f3f3f3f(无穷大),并将1号点放在堆中
- 取出堆顶的点,用该点t进行拓展,采用邻接表的数据结构,遍历该点t能到的所有节点
- 进行松弛操作,然后把松弛的点和距离加入堆中。
代码 + 注释:
typedef pair<int, int>PII; //pair<int, int>用来存两个值 const int N = 1e5 + 10; int dist[N]; bool st[N]; int dijkstra(){ memeset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist);//初始化距离 dist[1] = 0; priority_queue<PII, vector<PII>, greater<int>>heap;//定义小根堆 heap.push({0, 1}); //一定要距离在第一位,因为小根堆是根据第一个数据来排序 while(heap.size()){ PII t = heap.top(); //取堆顶距离最小的元素 heap.pop(); int distance = t.first, ver = t.second;//取出距离和点 if(st[ver]) continue;//如果该点以及加入了集合S中,就continue st[ver] = true; //否则加入该点 for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){ //遍历该点能到的点的位置 int j = e[i]; if(dist[j] > distance + w[i]){ //进行松弛操作 dist[j] = distance + w[i]; heap.push({dist[j], j}); //入堆 } } } if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; else return dist[n]; }
四、Bellman_Ford算法
Bellman_Ford算法(贝尔曼-福特算法):该算法比Dijkstra算法更具有普遍性,Dijkstra算法采用的是贪心思想,而Bellman_Ford采用的是动态规划,因为它对边没有要求,可以处理负权边与负权回路,也可以求边数限制的最短路,缺点是它的时间复杂度比较高,不能判断负环
时间复杂度:O(n * m)
思想:用结构体来存储图,对所有的边(重点)进行n - 1轮松弛操作,就是第一轮对所有边进行松弛,得到的是源点最多经过一条边到达其他顶点的最短距离,第二轮对所有的边进行松弛,得到的是最多经过两条边到其他顶点的最短距离,以此类推,最后达到n点
图解:
步骤:
- 循环n - 1次,每次循环更新每条边的最短距离
- 备份一份上次迭代dist距离的数据,防止串联
- 用以后的dist[j]进行拓展,松弛操作
代码 + 注释:
const int N = 1e5 + 10; int dist[N];//距离 int back[N];//备份的数据 struct Edge{ int a, b, w; }edge[N]; int bellman_ford(){ memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist); //初始化距离 dist[0] = 1; for(int = 0; i <= k; i ++){ //可以求只经过k条边(限制边数) memcpy(back, dist, sizeof dist); //备份防止串联 for(int j = 1; j <= n; j ++){ //遍历每个点 int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w; //取值 dist[b] = min(dist[b], back[a] + w); //松弛操作 } } if(dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1; //因为存在负权边,所以0x3f3f3f3f要除2 return dist[n]; }
五、spfa算法
SPFA算法(全称Shortest Path Faster Algorithm):是Bellman_frod的队优化形式,通常用来求含负权边的的单源最短路问题,以及判断负权环,如果存在负权环就不能用SPFA算法计算最短路
SPFA算法与Bellman_frod的区别:SPFA是Bellman_ford的队优化版,但Bellman_Ford可以用来求负环的最短路,是因为其循环次数是有限制的,因此不会发生死循环,而SPFA算法不可以求带有负环的最短路,由于用了队列存储,只要发生了更新就会不断的入队,因此有了负权回路就不能用SPFA否则会死循环,但是SPFA可以利用这点来判断图中是否存在负环,如果某个点(非终点)的经过边数达到了n就说明存在负环。
时间复杂度:由于SPFA是Bellman_ford优化而来,所以SPFA的最坏的情况是O(n * m),一般情况下是O(n)
对Bellman_ford的代码优化:
for(int j = 1; j <= n; j ++){ //遍历每个点 int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w; //取值 dist[b] = min(dist[b], back[a] + w); //松弛操作 }
思路:采用的是类似BFS无权环的思路,设立一个队列来保存待优化的结点,优化时每次取队头结点t,然后遍历队头能经过的边到达的点v,t点对所能经过的边的点v进行松弛操作,如果能进行松弛操作,并且v点不在当前队列中,就将v点入队,这样不断进行松弛操作,直到队列为空为止
步骤:
- 初始化dist[ ]数组,建立一个队列,将起始点入队
- 取出队头进行扩展,并进行松弛操作
代码 + 注释:
const int N = 1e5 + 10; //多少个点 int e[N], ne[N], w[N], idx, h[N]; void add(int a, int b, int c){ //邻接表的存储方式 e[idx] = b; w[idx] = c; ne[idx] = h[a]; h[a] = idx ++; } int spfa(){ memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist); //初始化距离 dist[0] = 1; queue<int>q; //定义队列 q.push(1); st[1] = true; while(q.size()){ int t = q.front(); //取出队头 q.pop(); st[t] = false; for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){ //遍历t能到的点 int j = e[i]; if(dist[j] > dist[t] + w[i]){ //松弛操作 dist[j] = dist[t] + w[i]; if(!st[j]){ q.push(j); st[j] = true; } } } } return dist[n]; }
SPFA算法判读负环的代码 + 注释:
const int N = 1e5 + 10; int dist[N]; int cnt[N];记录当前点t到源点最短路的边数, bool spfa(){ // 这里不需要初始化dist数组为 正无穷/初始化的原因是, 如果存在负环, 那么dist不管初始化为多少, 都会被更新 queue<int>q; //不仅仅是第一个点了, 因为第一个点可能到不了有负环的点, 因此把所有点都加入队列 for(int i = 1;i <= n; i ++){ q.push(i); st[i] = true; } while(q.size()){ int t = q.front(); q.pop(); st[t] = false; for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){ int j = e[i]; if(dist[j] > dist[t] + w[i]){ dist[j] = dist[t] + w[i]; cnt[j] = cnt[t] + 1;//如果能进行松弛操作就在当前点的cnt+ 1 if(cnt[j] >= n){ return true; } if(!st[j]){ q.push(j); st[j] = true; } } } } return false; }
六、Floyd算法
Floyd算法(弗洛伊德算法又称插点法):采用动态规划的思想,来解决给多源最短路的问题,可以求图中的任意一点x到任意一点y的距离
时间复杂度:O(n ^ 3) 三重循环
算法思路:从图的带权邻接矩阵开始,进行n次迭代更新,每次更新每两个点之间的最短距离,状态方程:f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
步骤:
初始化:从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。
对于每一对顶点 i 和 j, 看看是否存在一个顶点 k 使得从 i 到 k 再到 j 比已知的路径更短。如果是更新它。
代码 + 注释:
void Folyd(){ for (int i = 1; i <= n; i ++ ){ //初始化 for(int j = 1; j <= n; j ++){ if(i == j) d[i][j] = 0; else d[i][j] = INF; } } //动态规划 for(int k = 1; k <= n; k ++) for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <= n; j ++ ) d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]); }
总结
以上就是我所了解的几个最短路算法,可能还有很多待优化的地方,希望大家能指正。
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