层次分析法

目录一、模型介绍二、模型总结三、模型Matlab代码详解1.Matlab基本的小常识2. sum函数3. Matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？4. size函数5. repmat函数6. Matlab中矩阵的运算(加点和不加点)7. Matlab中求特征值和特征向量8. find函数的基本用法9. 矩阵与常数的大小判断运算10. 判断和循环语句四、模型代码样例花花基于正版渠道购买来的清风数

吕同学的头发不能秃

15282人浏览 · 2021-11-08 20:14:09

吕同学的头发不能秃 · 2021-11-08 20:14:09 发布

3. Matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？

4. size函数

5. repmat函数

6. Matlab中矩阵的运算(加点和不加点)

花花基于正版渠道购买来的清风数学建模教程进行层次分析法的学习，做如下总结：

一、模型介绍

层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大
地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

层次分析法(The analytic hierarchy process, 简称AHP)是建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀）。

解决评价类问题，我们首先要想到以下三个问题：
① 我们评价的目标是什么？
② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

优先选择知网（或者万方、百度学术、谷歌学术等平台）搜索相关的文献。

为什么优先在别人发表的论文中寻找指标呢？
因为：显得专业。
另外，别人研究使用的方法你也可以进行合理借鉴

假如你没找到相关的文献怎么办？
和小组成员来场头脑风暴 + 在平台上搜索别人或者专家的看法

强烈推荐一个很厉害的网站——虫部落‐快搜： https://search.chongbuluo.com/

还可以去以下地方搜索：谷歌、百度、微信搜索、知乎搜索……

举例子：

现在小明纠结去苏杭、去北戴河还是去桂林旅游，我们要为他分析出最佳目的地，评价的准则或者说指标是：景色、花费、居住、饮食、交通。

关键是填好这张权重表格。

注意：在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》

那么如何考虑它们的权重呢？我们决定用分而治之的方法。

问题：
一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。
解决方法：
两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重

如果用下表表示重要程度，请两两比较上述这五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。

（注：这里的重要性有时候解释为满意度更方便理解）

逐一进行了两两比较后，得出了这样一张表，其中蕴含了某种规律，请仔细想想哦。

总结：上面这个表是一个5×5的方阵，我们记为A，对应的元素为𝑎ij .
这个方阵有如下特点：
（1）𝑎ij表示的意义是，与指标𝑗相比，𝑖的重要程度。
（2）当𝑖=𝑗时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
（3）𝑎ij>0且满足𝑎ij×𝑎ji=1 （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）

实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

得到了判断矩阵，就可以计算出权重了。具体方法我们稍后再讲。

下面说说一致矩阵：

一致矩阵的例子：

观察上面这两个矩阵的特点：各行（各列）之间成倍数关系。

若矩阵中每个元素𝑎ij>0且满足𝑎ij × 𝑎ji = 1 ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。若正互反矩阵满足𝑎ij × 𝑎jk = 𝑎ik ，则我们称其为一致矩阵。

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

那怎么进行一致性检验呢？

原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

下面需要用到线性代数的知识，没学过的朋友可以忽略掉证明过程，只需要了解如何计算即可。

若正互反矩阵（判断矩阵）满足aij × ajk = aik，则我们称其为一致矩阵。

判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差就越大。

进行一致性检验的步骤：

第一步：计算一致性指标CI

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系，或使用我们以后要学习的模糊综合评价模型。

第三步：计算一致性比例CR

如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。
注：特征值可用matlab软件进行计算，没学过线性代数的朋友也不需要担心。如果特征值中有虚数，则比较的是特征值的模长。

第四步：如果CR > 0.1 如何修正？

一致性指标CI：0.1087

一致性比例CR：0.2090

注意：CR>=0.10,因此该判断矩阵A需要进行修改。

修改思想：往一致矩阵上调整~~~一致矩阵各行成倍数关系。

关于一致性检验的两个小问题：

（1）平均随机一致性指标RI怎么计算来的？

答：

注意：RI我们只需要会查表即可，不用管怎么来的，另外有些地方给的RI的表格和上面的有
细微区别，以上面的为准，因为上面使用的人最多。

（2）为什么要这样构造CI，为什么要以0.1为划分依据？

答：大家有兴趣的话可以去查看作者的原论文，作者是通过多次蒙特卡罗模拟得到的最佳的方案。

解决了一致性检验，那么一致矩阵要怎么计算权重呢？

对于景色这点而言：

苏杭的重要性如果是1，那么北戴河的重要性就是1/2，桂林的重要性就是1/4.

注意，权重一定要进行归一化处理：
苏杭 = 1 /（1+0.5+0.25）
北戴河 = 0.5 /（1+0.5+0.25）
桂林 = 0.25 /（1+0.5+0.25）

仅使用第一列的数据，计算出来的权重：
苏杭 =  1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882
北戴河 = 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941
桂林 = 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177

使用第二列的数据，计算出来的权重：
苏杭 =  2 /（2+1+0.5）= 0.5714
北戴河 = 1 /（2+1+0.5）= 0.2857
桂林 = 0.5 /（2+1+0.5）=  0.1429

使用第三列的数据，计算出来的权重：
苏杭 =  5 /（5+2+1）= 0.625
北戴河 = 2 /（5+2+1）= 0.25
桂林 = 1 /（5+2+1）= 0.125

方法1：算术平均法求权重

仅使用第一列的数据，计算出来的权重：
苏杭 =  1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882
北戴河 = 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941
桂林 = 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177

使用第二列的数据，计算出来的权重：
苏杭 =  2 /（2+1+0.5）= 0.5714
北戴河 = 1 /（2+1+0.5）= 0.2857
桂林 = 0.5 /（2+1+0.5）=  0.1429

使用第三列的数据，计算出来的权重：
苏杭 =  5 /（5+2+1）= 0.625
北戴河 = 2 /（5+2+1）= 0.25
桂林 = 1 /（5+2+1）= 0.125

综合上述三列，我们求平均权重：
苏杭 = ( 0.5882 + 0.5714 + 0.625 ) / 3=0.5949
北戴河 = ( 0.2941 + 0.2857 + 0.25 ) / 3=0.2766
桂林 = ( 0.1177 + 0.1429 + 0.125 ) / 3=0.1285

步骤：

第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）

第二步：将归一化的各列相加(按行求和)

第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

下图公式说明上面的三个步骤：

方法2：几何平均法求权重

几何平均法求权重也有三步：

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

第二步：将新的向量的每个分量开n次方

第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

下图公式说明上面的三个步骤：

方法3：特征值法求权重

拿景色举个例子：

注意，权重一定要进行归一化处理：
苏杭 = 1 /（1+0.5+0.25）
北戴河 = 0.5 /（1+0.5+0.25）
桂林 = 0.25 /（1+0.5+0.25）

假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。

第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

最大特征值为3.0055 , 一致性比例 CR = 0.0053
对应的特征向量：[‐0.8902,‐0.4132,‐0.1918]
对其归一化：[0.5954,0.2764,0.1283]

将计算结果填入权重表：

然后逐一将每一个指标的数据填进去就行了。

求上面这个判断矩阵的权重：

汇总结果得到权重矩阵：

我们可以得到使用特征值法求得的权重矩阵，根据此矩阵，我们可以计算出每个旅游景点的得分。

计算各方案的得分：

苏杭得分：

类似的，我们可以得到北戴河得分为0.245，桂林得分为0.455.

因此小明最佳的旅游景点应该是桂林。

注意：这里用EXCEL计算可大大减轻工作量哦。

要点： F4可以锁定单元格。

二、模型总结

层次分析法第一步：

1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构.

准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据，可以考虑利用这些数据进行计算。例如：有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且你收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。

注意：如果你用到了层次分析法，那么这个层次结构图要放在你的建模论文中哦。

层次图如何制作呢？

①使用PPT自带的功能SmartArt生成；

②使用专业软件：亿图图示；

注：同类型的软件如Visio也是可以的~如果不想下载软件，可以使用在线的ProcessOn，也很方便。

层次分析法第二步：

2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。

接下来构造判断矩阵：

上面这个矩阵的名称是：判断矩阵O — C
任何评价类模型都具有主观性。
理想：采用专家群体判断
现实：几乎都是自己填的

层次分析法第三步：

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。三种方法计算权重：
（1）算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法

强烈建议大家在比赛时三种方法都使用：
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

注：

（1）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验；（2）在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程。

层次分析法第四步：

4 . 根据权重矩阵计算得分，并进行排序。

层次分析法可以参考优秀论文的做法，例如：

① 【2008年国赛B题一等奖】关于高等教育学费标准的评价及建议；

②【2016年国赛MATLAB创新奖B题】中国人民大学‐小区开放道路通行影响

层次分析法的一些局限性：

（1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。

注：平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15。

（2）如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？

这个得自己思考一下。

三、模型Matlab代码详解

1.Matlab基本的小常识

分号的作用、注释的快捷键、clc和clear、disp和input等等。

（1）在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子；)表示不显示运行结果，例如a = 3;

（2）多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R

（3）取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T

（4）clear可以清楚工作区的所有变量

（5）clc可以清除命令行窗口中的所有文本,让屏幕变得干净

（6）clear;clc 一起使用，起到“初始化”的作用，防止之前的结果对新脚本文件（后缀名是 .m）产生干扰。说明分号也用于区分行。

（7）输出和输入函数(disp 和 input)

disp函数：matlab中disp()就是屏幕输出函数，类似于c语言中的printf（）函数

disp('我是花花，大家好鸭~~')

input函数：一般我们会将输入的数、向量、矩阵、字符串等赋给一个变量，这里我们赋给A

A = input('请输入A：');

B = input('请输入B：')

注意观察工作区，并体会input后面加分号和不加分号的区别

（8）matlab中两个字符串的合并有两种方法

（a）strcat(str1,str2……,strn)
strcat('字符串1','字符串2')
（b）[str 1,str 2，……, str n]或[str1 str2 …… strn]
['字符串1' '字符串2']
['字符串1','字符串2']
一个有用的字符串函数：num2str 将数字转换为字符串
c = 100
num2str(c)
disp(['c的取值为' num2str(c)])
disp(strcat('c的取值为', num2str(c)))

2. sum函数

（1）如果是向量（无论是行向量还是列向量），都是直接求和。
E = [1,2,3]
sum(E)
E = [1;2;3]
sum(E)

（2）如果是矩阵，则需要根据行和列的方向作区分。
clc
E = [1,2;3,4;5,6]
a=sum(x);                 %按列求和(得到一个行向量）
a = sum(E)
a = sum(E,1)   %1是按列求和(得到一个列向量）
% a=sum(x,2);         %2是按行求和(得到一个列向量）
a = sum(E,2)
% a=sum(x(:)); %对整个矩阵求和
a = sum(sum(E))
a = sum(E(:))

3. Matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？

（1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）
clc; A=[1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1];
A
A(2,1)
A(3,2)

（2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）
clc; A
A(2,:)
A(5,:)

（3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）
clc; A
A(:,1)
A(:,3)

（4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）
clc; A
A([2,5],:) % 只取第二行和第五行（一共2行）
A(2:5,:) % 取第二行到第五行（一共4行）
A(2:2:5,:) % 取第二行和第四行（从2开始，每次递增2个单位，到5结束）
1:3:10
10:-1:1
A(2:end,:) % 取第二行到最后一行
A(2:end-1,:) % 取第二行到倒数第二行

（5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)
clc; A
A(:)

4. size函数

clc;
A = [1,2,3;4,5,6]
B = [1,2,3,4,5,6]
size(A)
size(B)

% size(A)函数是用来求矩阵A的大小的,它返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数

[r,c] = size(A)
% 将矩阵A的行数返回到第一个变量r，将矩阵的列数返回到第二个变量c

r = size(A,1) %返回行数，注意后面的数字1、2

c = size(A,2) %返回列数

5. repmat函数

B = repmat(A,m,n): 将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。
A = [1,2,3;4,5,6]
B = repmat(A,2,1) %列方向复制2倍，行方向复制1倍
B = repmat(A,3,2) %列方向复制3倍，行方向复制2倍

6. Matlab中矩阵的运算(加点和不加点)

MATLAB在矩阵的运算中，“*” 号和 “/” 号代表矩阵之间的乘法与除法(A / B = A*inv(B))
A = [1,2;3,4]
B = [1,0;1,1]
A * B
inv(B) % 求B的逆矩阵
B * inv(B)
A * inv(B)
A / B

% 两个形状相同的矩阵对应元素之间的乘除法需要使用 “.*” 和 “./”
A = [1,2;3,4]
B = [1,0;1,1]
A .* B
A ./ B

% 每个元素同时和常数相乘或相除操作都可以使用
A = [1,2;3,4]
A * 2
A .* 2
A / 2
A ./ 2

% 每个元素同时乘方时只能用 .^
A = [1,2;3,4]
A .^ 2
A ^ 2
A * A

7. Matlab中求特征值和特征向量

Matlab中求特征值和特征向量

在Matlab中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：
A = [1 2 3 ;2 2 1;2 0 3]

（1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
E=eig(A)

（2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成 V 的列向量。

（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
[V,D]=eig(A)

8. find函数的基本用法

下面例子来自博客：https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html 博客内有更加深入的探究

% find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
clc;X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6]
ind = find(X)

% 其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：
ind = find(X,2)

%上面针对的是向量（一维），若X是一个矩阵（二维，有行和列），索引该如何返回呢？
clc;X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
ind = find(X)

% 这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，我们可以做一下验证：
X(4)

% 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢？
[r,c] = find(X)
[r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素

9. 矩阵与常数的大小判断运算

共有三种运算符：大于> ; 小于< ; 等于 == （一个等号表示赋值；两个等号表示判断）
clc
X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
X > 0
X == 4

10. 判断和循环语句

Matlab的判断语句，if所在的行不需要冒号，语句的最后一定要以end结尾；

中间的语句要注意缩进。

a = input('请输入考试分数:')
if a >= 85
disp('成绩优秀')
elseif a >= 60
disp('成绩合格')
else
disp('成绩挂科')
end

注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中。国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭。

如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231

四、模型代码样例

%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。

%% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。

%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。

%% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。

%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。

代码一：

disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);

% % % % % % % % % % % %方法1：算术平均法求权重% % % % % % % % % % %
Sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;

disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2)./n)

% % % % % % % % % % % %方法2：几何平均法求权重% % % % % % % % % % %
Prduct_A = prod(A,2);
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

% % % % % % % % % % % % %方法3：特征值法求权重% % % % % % % % % % %
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

% % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % %
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15

% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数

CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

代码二：

%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]

% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。

%% 方法1：算术平均法求权重
（1）第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)

[n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1) %repeat matrix的缩写

% 另外一种替代的方法如下：
SUM_A = [];
for i = 1:n %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可

（2）第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)

（3）第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）

%% 方法2：几何平均法求权重
（1）第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加 dim = 2 维度是行

（2）第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方

（3）第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

%% 方法3：特征值法求权重
（1）第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A) %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。

（2）第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。

%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end