一、简介

Hill密码又称希尔密码是运用基本矩阵论原理的替换密码，属于多表代换密码的一种，由$LesterS.Hill$在1929年发明。

随着科技的日新月异和人们对信用卡、计算机的依赖性的加强，密码学显得愈来愈重要。密码学是一门关于加密和解密、密文和明文的学科。若将原本的符号代换成另一种符号，即可称之为广义的密码。狭义的密码主要是为了保密，是一种防止窃文者得知内容而设的另一种符号文字，也是一般人所熟知的密码。
使用信用卡、网络账号及密码、电子信箱、电子签名等都需要密码。为了方便记忆，许多人用生日、电话号码、门牌号码记做密码，但是这样安全性较差。
为了使密码更加复杂，更难解密，产生了许多不同形式的密码。密码的函数特性是明文对密码为一对一或一对多的关系，即明文是密码的函数。传统密码中有一种叫移位法，移位法基本型态是加法加密系统 $C=P+s(modm)$。一般来说，我们以 $1$ 表示 $A，2$ 表示 $B，\dots \dots ，25$ 表示 $Y$， $26$ 表示Z，以此类推。由于 $s=0$ 时相当于未加密，而 $0\le s\le m-1$（ $s\ge m$ 都可用 $0\le s\le m-1$ 取代），因此，整个系统只有 $m-1$ 种变化。换言之，只要试过 $m-1$ 次，机密的信息就会泄漏出去。
由此看来，日常生活中的密码和传统的密码的可靠性较差，我们有必要寻求一种容易将字母的自然频度隐蔽或均匀化，从而有利于统计分析的安全可靠的加密方法。 希尔密码能基本满足这一要求 。

二、原理

2.1 Hill加密原理

• 对于每一个字母，我们将其转化为对应的数字，一般来说我们使用的是 $A$ 对应的 $0$ ，$B$ 对应的 $1$ 然后一次类推，当然你也可以自己指定一个字母表，然后一一对应
• 我们将明文转化为一个 $1$ 维的向量 （即：$1\times n$ 的矩阵）
• 然后我们将这个 $1$ 维的向量和一个 $n\times n$ 的密钥矩阵相乘，得到一个 $1$ 维的向量，然后对这个矩阵模上 $26$
• 然后再通过字母表将这个 $n$ 维矩阵转化为密文

解密 的话只需要将密文乘上密文矩阵的 逆矩阵 就好啦， Hill 密码能较好地抵抗统计分析法，对抗唯密文攻击的强度较高，但易受到已知明文攻击。破译的难度也会随着矩阵的阶数规模变大变得难以破解

2.2 矩阵求逆原理

在上一篇博客中降到了关于矩阵求逆的高斯消元方法：
传送门：https://acmer.blog.csdn.net/article/details/125012646

三、 举例

我们的明文为：ACM，我们想将其加密，我们得到的一个密钥矩阵如下：
$$\left[\begin{array}{c}211\\ 321\\ 212\end{array}\right]$$

1. 我们将明文转为一个 $1$ 维向量：

$$\left[\begin{array}{c}0212\end{array}\right]$$

2. 对两个矩阵做一个乘法

$$\left[\begin{array}{c}0212\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}211\\ 321\\ 212\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}301626\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4160\end{array}\right]$$

3. 将新得到的 $1$ 维向量按照字母表转化为密文：
   

得到密文：EQA

四、代码

4.1 加密代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100
#define mod 26
struct Matrix{
	int n,m;
	int mp[N][N];
	void init(int n,int m) {
		this->n = n;
		this->m = m;
		for(int i = 0;i <= n; ++i) 
			for(int j = 0;j <= m; ++j)
				mp[i][j] = 0;
	}
};

Matrix mult(Matrix L,Matrix R) {//乘法
	if(L.m != R.n) return L;
	Matrix M;
	M.init(L.n,R.m);
	for(int i = 0;i < L.n; ++i) {
		for(int j = 0;j < R.m; ++j){
			for(int k = 0;k < L.m; ++k) {
				M.mp[i][j] = (M.mp[i][j] + L.mp[i][k] * R.mp[k][j]) % mod;
			}
		}
	}
	return M;
}

void HIll(){
	Matrix a,b;
	string S;
	cout<<"请输入需要加密的明文"<<endl;
	cin>>S;
	transform(S.begin(),S.end(),S.begin(), ::toupper);
	int len = S.size();
	cout<<"请输入"<<len<<"X"<<len<<"的密钥矩阵"<<endl;
	a.init(len,len);
	b.init(1,len);
	
	for(int i = 0;i < len; ++i)
		for(int j = 0;j < len; ++j)
			scanf("%d",&a.mp[i][j]);
	for(int i = 0;i < len; ++i) 
		b.mp[0][i] = int(S[i] - 'A');
	for(int i = 0;i < len; ++i) 
		cout<<b.mp[0][i]<<" \n"[i == len-1];
	
	Matrix c = mult(b,a);
	string ans = "";
	for(int i = 0;i < len; ++i)
		ans += char('A' + c.mp[0][i]);
	cout<<"加密后的密文为：\n"<<ans<<endl;
}


int main()
{
	HIll();
	return 0;
}
/*
ACM
2 1 1
3 2 1
2 1 2

ans = EQA
----------------
ACT
6 24 1
13 16 10
20 17 15	

ans = QRT
----------------
cyber
10 5 12 0 0
3 14 21 0 0
8 9 11 0 0
0 0 0 11 8
0 0 0 3 7
ans = WRTRV
*/

4.2 解密代码

由于矩阵求逆用的是浮点高斯，那么有可能逆矩阵就是一个浮点数或者，所以至于要怎么处理（四舍五入、向上向下取整）就取决于需求者了，所以我这里也就不放出代码了，道理明白就行。