聚类算法—k-Means实验

k-平均（k-Means），也被称为k-均值，是一种得到最广泛使用的聚类算法[1]. k-Means算法以k为参数，把n个对象分为k个簇，使得簇内具有较高的相似度。

实验目的

1. 了解常用聚类算法及其优缺点；
2. 掌握k-Means聚类算法对数据进行聚类分析的基本原理和划分方法；
3. 利用k-Means聚类算法对数据集进行聚类实验；
4. 熟悉使用Matlab进行算法的实现。

聚类算法的主要思想

主要思想

给定一个有n个对象的数据集，划分聚类技术将构造数据k个划分，每一个划分就代表一个簇，$k\le n$. 每一个簇至少包含一个对象，每一个对象属于且仅属于一个簇。

对于给定的k，算法首先给出一个初始的划分方法，以后通过反复迭代的方法改变划分，使得每一次改进之后的划分较前一次更好。

评价函数

更好的标准是：同一簇中的对象越接近越好，而不同簇中的对象越远越好，目标是最小化所有对象与其簇中心之间相异度之和。

各个簇应该是紧凑的，各个簇间的距离应当尽可能远。因此，用聚类C的类内差异（Within cluster variation）$w(C)$ 和类间差异（Between cluster variation）$b(C)$ 分别衡量上述两要求。

$$w(C)=\sum _{i=1}^{k}w(C_i)=\sum _{i=1}^k\sum _{x\in C_i}d(x,\overline{x_i}{)}^2$$

$$b(C)=\sum _{1\le j\le i\le k}d(\overline{x_j},\overline{x_i}{)}^2$$

其中，$\overline{x_i}$ 是类 $C_i$ 的聚类中心，d 为距离函数。聚类C的总体质量可以被定义为 $\frac{b(C)}{w(C)}$.

k-Means算法原理

k-Means算法用类内均值作为聚类中心、用欧氏距离定义d，并使上述 $w(C)$ 最小化。

优化目标

$$\underset{C}{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^k\sum _{x\in C_i}\parallel x-\overline{x_i}{\parallel }^2$$

表示选取合适的C使得所有对象的平方误差总和最小，其中x是空间中的点，$\overline{x_i}$ 是簇 $C_i$ 的平均值，这个优化目标可以保证生成的结果簇尽可能的紧凑和独立。

算法描述

首先随机选择k个对象，每个对象初始地代表了一个簇的平均值或中心。对剩余的每个对象根据其与各个簇中心的距离，将它赋给最近的簇。然后重新计算每个簇的平均值。这个过程不断重复，直到上述平方误差总和收敛。

k-Means算法分析

优点

• 对处理大数据集，该算法是相对可伸缩和高效率的，时间复杂度约为 $\mathcal{O}(k\cdot n\cdot t)$，t是迭代次数。k-Means算法经常以局部最优结束；
• 算法尝试找出使平方误差最小的k个划分，当结果簇是密集的，而簇与簇之间区别明显时，k-Means的效果较好。

缺点

• 若涉及离散属性，其平均值无法定义，无法使用k-Means聚类；
• 必须事先给出参数k，k的选取对聚类质量和效果影响很大；
• k-Means算法不适合发现非凸面形状的簇，或者大小差别很大的簇。而且对于“噪声”和孤立点数据是敏感的，少量的该类数据对平均值产生较大影响。

算法改进

k-模算法：将k-Means的应用扩大到离散数据。k-原型可以对离散与数值属性两种混合的数据进行聚类，在k-原型中定义了一个对数值与离散属性都计算的相异性度量标准。[2]

k-中心点算法：解决了k-Means算法对孤立点敏感的问题，不采用簇中的平均值作为参照点，而使用簇中位置最靠近中心的对象作为参照点。基本思路是反复用非代表对象来替代代表对象，以改进聚类的质量。PAM（Partition Around Medoid）是最早提出的k-中心点算法之一。[3]

代码

clc;clear;
k = 2;
data = [1 1; 2 1; 1 2; 2 2; 4 3; 5 3; 4 4; 5 4;];
eps = 0.1;
epochs = 100;
[n,~] = size(data);
% initialize the last column of data as classes
data(:,end+1) = 0;
% assign initial value for means
rng('default') % For reproducibility
clusters = data(randperm(n,k),1:end-1);
% initialize E
E = inf; 
% save means steps
cnt = 0; % counter
cls_steps = [];
while epochs>0
    % to save means steps
    cnt = cnt + 1;
    cT = clusters';
    cls_steps(cnt,:) = cT(:)';
    % assign each xj to the cluster which has the closet mean
    D = pdist2(data(:,1:end-1),clusters);
    [~,I] = min(D');
    data(:,end) = I';
    % calculate new means for each classes
    clusters = grpstats(data(:,1:end-1),data(:,end));
    % calculate criterion function E
    lastE = E;
    E = .0;
    for i=1:n
        E = E + pdist2(data(i,1:end-1),clusters(data(i,end),:));
    end
    if lastE-E<=eps
        break
    end
    epochs = epochs - 1;
end

Matlab2021a

结果验证

结果数据

在data.csv数据集上运行上述代码，得到结果如下：

Clusters: 聚类中心

x1	x2
1.5	1.5
4.5	3.5

E = 5.65685424949238

cls_steps: 聚类中心移动记录

c1x1	c1x2	c2x1	c2x2
4	3	5	3
2.33333333	2.16666667	5	3.5
1.5	1.5	4.5	3.5

结果图像

其中，蓝色/黄色实心点表示不同分类下的数据点，空心橙色/紫色圆环表示k-Means聚类中心的变化情况。

附录（data.csv）

Index	Attr1	Attr2
1	1	1
2	2	1
3	1	2
4	2	2
5	4	3
6	5	3
7	4	4
8	5	4

参考

1. 毛国君、段立娟, 《数据挖掘原理与算法》, 清华大学出版社, 2016-01-01, ISBN：9787302415817
2. Ramasubramanian P , Kumar S P , Anandam D . Experimental work on Data Clustering using Enhanced Random KMode Algorithm. 2020.
3. Bhat A . K-Medoids Clustering Using Partitioning Around Medoids for Performing Face Recognition. 2014.