mean smoothness	mean compactness	mean concavity	mean concave points	是否良性
0.1184	0.2776	0.3001	0.1471	0
0.08474	0.07864	0.0869	0.07017	0
...	...	...	...	...
0.08752	0.07698	0.04751	0.03384	1
0.08261	0.04751	0.01972	0.01349	1
...	...	...	...	...
0.09752	0.1141	0.09388	0.05839	0
...	...	...	...	...
0.08455	0.1023	0.09251	0.05302	0
0.1178	0.277	0.3514	0.152	0
0.05263	0.04362	0.0	0.0	1

二、逻辑回归的思想

我们知道，线性回归拟合的是数值，并不符合我们预测类别的需求。
但数值与类别也是有关联的。例如，天色越黑，下雨概率就越大。即值越大，属于某类别的概率也越大。值与概率之间可以互转。

在数学里通常用 $\textbf{Sigmoid}(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ 函数将数值转化为概率：

逻辑回归就是这样的原理，先用 wx+b 作为综合值的评估，再套用 sigmoid 函数将综合评估值转为概率。所以，逻辑回归本骨子里还是线性模型。

三、模型表达式

逻辑回归的模型表达式如下：

在单变量时，它就是一条S曲线，其中，w控制了它的拉伸，b则控制了它的平移位置：

类似地，在两个变量时，它就是一个S面，在更多变量时，则是一个超S面。

四、损失函数

我们知道，损失函数引导我们去求取模型里的参数w和b，也就是指明我们想要一个什么样的w,b。
在逻辑回归中，我们用误差就不适合了。逻辑回归模型采用的是，模型预测正确概率最大化~！

(一) 单个样本评估正确的概率

模型对单个样本评估正确的概率 $\textbf{P}_{\text{right}}(x)$ 为：

解析：逻辑回归的输出就是类别1的概率，真实值也为1 时, P就是评估正确的概率 ; y= 0时,P是错误的概率，1-P 就是模型正确的概率。

巧妙的操作是，可以用一条式子把上述二式合并如下:

解析：当y=1时，第二个括号等于1，当y=0时，第一个括号为0.与上述二式一致。

(二) 所有样本评估正确的概率

假设每个样本是独立事件，则总评估正确的概率为所有样本评估正确的积：

(三) 损失函数

我们期待 $\textbf{P}_{\text{RightTotal}}$ 最大化，只要将损失函数设计成 $-\textbf{P}_{\text{RightTotal}}$ 即可。又由于 $\textbf{P}_{\text{RightTotal}}$ 中含有大量的乘号，为计算方便，我们外套一个对数。

最后，损失函数设计如下：

说明：
在连乘的情况下，使用对数使其转为加号是常用的操作。因为对数是单调函数，能让P最大化的W，同样会是令lnP最大化的W。

(四) 总结

逻辑回归损失函数设计的整体思路为：

这种思路设计的损失函数也叫最大似然损失函数。

五、模型求解

模型求解的技术背景

现在我们需要求解最佳的W，使损失函数

最小。也即令预测概率准确性最大化。

理论上，我们可以求损失函数的偏导，k+1个参数的偏导共k+1个方程，再联立求解即可。但遗憾的是，它的偏导数是非线性方程，我们没有能力去求解k+1个非线性方程的解。

因此，我们退而求其次，使用算法去寻找一个优秀解。其中，梯度下降法就是一个经典的数值求解算法。

(一) 梯度下降算法

其原理如下：

即先初始化一个初始解，然后不断地根据目标函数的梯度下降方向，调整x,最后达到局部最优值。具体理论请看《入门篇-求解算法：梯度下降》。

(二) 梯度公式

梯度下降法在迭代过程使用到了L(W)的梯度，我们需要求出L(W)的梯度公式（公式详细推导在文未给出）：

$\displaystyle \dfrac{\partial L(W)}{\partial W}= X^T(p-\text{y})$

其中
(1) X 为m*n矩阵, m样本数, n为特征个数,即一行为一个样本,一列为一特征.
(2) y,p 为列向量, $p = \dfrac{1}{1+e^{-XW}}$
(3) W为列向量n*1的列向量

(三) 梯度下降算法应用于逻辑回归

先初始化W，然后
(1) 按照梯度公式算出梯度，
(2) 将W往负梯度方向调整
不断循环(1)和(2)，直到达到终止条件(例如达到最大迭代次数)

Pass: 工具包里通常不使用梯度下降算法，对于逻辑回归，会有更巧妙的求解算法，例如matlab工具箱里使用的就是牛顿法，它与梯度下降法思想类似。
在这里我们先学习梯度下降法求解，它是最经典必学的求解算法，没有之一。它简单，普适性广，通用。至于工具箱中使用的算法，在进阶篇我们再进行讲解。

六、实例解说

(一) 问题

以sk-learn中的breast_cancer的部分数据为例 ，
已采集150组乳腺癌数据：包含四个特征和乳腺癌类别（特征：平均平滑度、平均紧凑度、平均凹面、平均凹点，类别：恶性、良性）。
具体数据如下：

mean smoothness mean compactness mean concavity mean concave points 是否良性
0.1184 0.2776 0.3001 0.1471 0
0.08474 0.07864 0.0869 0.07017 0
0.1096 0.1599 0.1974 0.1279 0
... ... ... ... ...
0.08752 0.07698 0.04751 0.03384 1
0.08637 0.04966 0.01657 0.01115 1
0.07685 0.06059 0.01857 0.01723 1
0.08261 0.04751 0.01972 0.01349 1
... ... ... ... ...
0.09752 0.1141 0.09388 0.05839 0
0.09488 0.08511 0.08625 0.04489 0
... ... ... ... ...
0.1178 0.277 0.3514 0.152 0
0.05263 0.04362 0.0 0.0 1

现在需要我们可以通过数据，训练一个决策模型，用于预测乳腺癌是良性还是恶性。

(二) 建模思路

1、假设X和Y符合逻辑回归模型，则有 $\textbf{y} = \textbf{sigmoid}(XW)$
2、用梯度下降法求解W：
用梯度下降法求解损失函数中的W：先初始化一个w,然后不断按负梯度方向 $\displaystyle \dfrac{\partial L(W)}{\partial W}= X^T(p-\text{y})$ 调整。
（最好能将数据归一化，这里为简化，我们不作归一化）
3、将W回代模型

(三) 代码实现

python代码如下:

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
梯度下降求解逻辑回归
"""
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
import numpy as np
#----数据加载------
data = load_breast_cancer()
X    = data.data[:,4:8]
y    = data.target

#-----给x增加一列1---------
xt = np.insert(X, X.shape[1], 1, axis=1)

#-----梯度下降求解w---------------
np.random.seed(888)             # 设定随机种子，以确保每次程序结果一次
w = np.random.rand(xt.shape[1]) # 初始化
for i in range(10000):
    p = 1/(1+np.exp(-xt@w)) #计算p
    w = w - 0.01*(xt.T@(p-y)) # 往负梯度方向更新w
p = 1/(1+np.exp(-xt@w))  # 最终的预测结果
print("参数w："+str(w))

运行后输出：

参数w：[  7.16215375  14.98708501 -16.84689114 -73.92486786   3.38331608]

(四) 模型结果

将w回代模型，我们可以得到模型：

$\textbf{p} = \dfrac{1}{1+ e^{-(7.16*x_1+ 14.98*x_2 -16.84x*_3 -73.92*x_4 +3.38)}}$

(五) 检验模型效果

我们画出训练样本中，各个p值段的0，1标签分布：

可以看到，p值越高，属于1类别的就越多，模型对样本已有较好的区分度。

附：使用sklearn包求解逻辑回归

实际中我们一般都会直接调包求解，这里给出调用 sklearn包的方法
代码如下：

from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import numpy as np
#----数据加载------
data = load_breast_cancer()
X    = data.data[:,4:8]
y    = data.target

np.random.seed(888)
#-----训练模型--------------------
clf = LogisticRegression(random_state=0)            
clf.fit(X,y) 
#------打印结果------------------------
print("模型参数："+str(clf.coef_))
print("模型阈值："+str(clf.intercept_))

运行结果：

模型参数：[[-0.53024026 -3.48636783 -6.89132654 -4.37965412]]
模型阈值：[1.80112869]

七、本文总结

(一) 学习了逻辑回归模型原理

逻辑回归模型是用于做二分类。输出属于分类1的概率。
(1) 模型函数：相当于用线性函数综合所有变量，再用sigmoid函数将综合值转为概率值。
$P(x) = \textbf{Sigmoid}(XW) = \dfrac{1}{1+e^{-(w_1x_1+w_2x_2+....w_kx_k+b)}}$
(2) 模型的损失函数
用概率最大化作为损失函数，即取何值时，模型预测正确的概率最大。
(3) 模型求解
模型无法求得精确解，使用梯度下降等算法进行数值求解(matlab的逻辑回归包里用的是牛顿法，与梯度下降法思想类似)。