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详解协方差矩阵,相关矩阵,互协方差矩阵(附完整例题分析)【1】
在看MMSE(Minimum Mean Square Error)进行信道估计时,经常看到论文中的这三个表达:Correlation Matrix:相关矩阵Covariance Matrix:协方差矩阵Cross-Covariance Matrix:互协方差矩阵每次都看的懵懵懂懂,今天尝试用这篇文章,通俗易懂的去解释这三个概率论中的理解。
目录
一. 写在前面
在看MMSE(Minimum Mean Square Error)进行信道估计时,经常看到论文中的这三个表达:
- Correlation Matrix:相关矩阵
- Covariance Matrix:协方差矩阵
- Cross-Covariance Matrix:互协方差矩阵
每次都看的懵懵懂懂,今天尝试用这篇文章,通俗易懂的去解释这三个概率论中的理解。
二. 样本向量的均值与协方差
2.1 均值与方差
我取了n个样本数据,该怎么计算它们的均值?简单,把它们加在一起再除以n就好了:
概率论上把这个叫做无偏样本均值(unbiasd sample mean)。
紧接着利用耳熟能详的方差公式可以计算:
理解:用样本减去平均数再平方,可以衡量样本的波动程度,再除以n-1代表平均波动程度。
注意:是除以n-1,因为当你利用样本均值来代替总体均值时,会损失一个自由度。
2.2 向量的均值
假设现在一个样本不是单一的一个数,而是一个向量。也就是,当你抽取一个样本时,也就相当于抽取了一个p维向量。对应的随机变量也是一个p维向量,如下:
现在,我抽取n个样本向量,每个向量都是p维,也就是抽取了:
注意,我们通常所说的向量如果写成矩阵的格式,一般都代表列向量。
一共n个向量,每个向量包含p个数据,组合在一起不就是矩阵!我们把这个矩阵叫数据矩阵(data matrix),如下:
当你横着看第一行,这就是我们抽取的第一个样本向量,所以下标的第一个数字代表第几次抽取。
当你竖着看第一列,这就是第一个随机变量的n个样本数据,如果只看他这一个的话,这就是一个一维的样本。所以,下标的第二个数字代表第几个随机变量。
所以,这个样本数据矩阵与原始的样本向量关系,如下:
矩阵X第j列代表变量,如果我想要求这个单一变量的样本均值:
简单来讲就是,如果你想要求变量的均值,你就把数据矩阵的第j列进行相加,然后除以n就可以了,很明显这个过程与“2.1”的理解是一模一样的。
以此类推,样本向量的均值计算就很简单了:
如果你对数学推导不感兴趣,请直接看最后的结论:
样本向量的均值也是先相加,再除以n。
2.3 协方差矩阵
取数据矩阵第j列的数据,来代表变量的样本,可以计算对应的方差:
每一个样本都是p维的向量,也就是有p个随机变量,数据的波动程度,是需要考虑不同变量之间的影响,这个时候方差就推广到了协方差。比如,变量与
的协方差可以表示为
,换个顺序结果肯定相等。变量
与
的协方差,变量
与
的协方差,这两个之间是相等的:
协方差的计算跟:第j列和第k列相关,再结合方差的定义。代表第j列的数据波动程度,
代表第k列的数据波动程度,由此可得其协方差:
一共有p个变量,任意两个变量进行组合都会出现方差,这种组合的情况一共有种,写成矩阵就是p行p列,这个矩阵就是所谓的协方差矩阵(covariance matrix):
协方差的计算与理解是本文章的重点。接下来我们尝试带入计算,会用到线性代数的部分知识,还是一样,对概率论不感兴趣的同学,可直接看最后的结论。
协方差矩阵中代表变量1自己跟自己的方差,
代表变量1跟变量2之间的方差(更准确叫协方差)。方差的本质无非就是样本减去均值,如此带入协方差矩阵中:
协方差矩阵只是看起来复杂,其本质就是把我们刚才不同位置计算的方差带入而已。
观察到每个地方都有求和,前面都有一个分数,提取出来,化简协方差矩阵:
这是一个对称矩阵,本质就是两个括号相乘,熟悉线性代数的同学知道,这个矩阵可以分解成一个列向量乘以一个行向量,由此可得:
观察第一个列向量:就是第i个样本向量减去样本均值向量
观察第二个行向量:也是第i个样本向量减去样本均值向量,只不过需要转置
小结:
- 协方差矩阵是一个对称矩阵;
- 协方差矩阵的维度与向量维度有关,跟样本向量个数无关;
- 协方差矩阵里元素的值与样本向量和样本向量的均值有关;
具体计算如下:
三. 协方差矩阵的线性变换
如以上讨论中“2.2”,每个样本就是一个p维向量,总共取n个样本向量,放在一起就可以形成一个n行p列的数据矩阵,该矩阵每一行代表一个向量样本,每一列代表一个随机变量的n个取值。
已知向量型随机变量X,我们对其做一些线性变化形成随机变量Y:
其中。首先这是一种线性变换,其次注意随机变量Y的维度也发生了变换。
3.1 均值的线性变换
从样本的角度,思考,x和y之间满足:
其中下标i代表样本个数。样本X取了n次,相当于样本Y也取了n次,所以两者i是一致的。
对n个样本,其样本均值也就比较好计算了:
带入X与Y之间的关系:
换句话说,一旦给出了X的均值,我们可以利用求y的均值,跟以前学习的均值结论一致。
3.2 协方差的线性变换
调用协方差公式计算变量Y的协方差矩阵:
带入X与Y之间的关系:
注意向量d相减被抵消掉了。提取矩阵C,继续化简:
总结变量Y与X之间的协方差矩阵满足:
四. 互协方差矩阵
给定两个向量型随机变量X与Y,它们之间的关系还不明朗,如果需要求它们两之间的互协方差矩阵的话,可以分两步走:
- 将X与Y合并为1个列向量Z
- 对向量Z求协方差矩阵
鉴于此思想,我们将从向量分割的角度来解释互协方差矩阵。
给定一个向量型的随机变量:
我们从某处,把该向量分成两个部分(不一定是均分),如下:
可以理解成如下的格式:
对于每一个取到的向量样本,也可以做这种割分,如下:
两部分样本对应如下:
我们把割分进行到底,样本均值可以直接割分:
向量直接割分,对应两个向量样本,这个没问题。但是协方差的割分是一个矩阵,需要注意,如下:
来理解下协方差矩阵的分割结果:
就是样本
的协方差矩阵,q行q列,维度也刚好对应上了。
就是样本
的协方差矩阵,(p-q)行(p-q)列,维度也刚好对应上了。
剩下的则是非常有意思的重点。和
则可以看成
与
之间的互-协方差矩阵(cross Covariance Matrix),观察矩阵元素,不难得到:
五. 相关矩阵
六. 例题
有关五和六,以及总结,请看这篇博客:
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