将混沌映射方法与优化算法相结合是一种常见的改进方式。本期不完全整理了21种常见的混沌映射方法的matlab代码，并将他们运用在算法的初始化中。该策略适用于所有优化算法。具体有：

Chebyshev混沌映射
Circle 混沌映射
Gauss/mouse 混沌映射
Iterative 混沌映射
Logistic 混沌映射
Piecewise 混沌映射
Sine 混沌映射
Singer 混沌映射
Sinusoidal 混沌映射
Tent 混沌映射
Fuch 混沌映射
SPM 混沌映射
ICMIC 混沌映射
Tent-Logistic-Cosine 混沌映射
Sine-Tent-Cosine 混沌映射
Logistic-Sine-Cosine 混沌映射
Henon 混沌映射
Cubic 混沌映射
Logistic-Tent 混沌映射
Bernoulli 混沌映射
Kent 混沌映射

1. Chebyshev 混沌映射

Chebyshev 混沌映射原理简单，是常用的混沌映射之一。a阶Chebyshev混沌映射表达式为：

其中a通常取值为4。混沌轨道状态值范围为（-1，1）。

2. Circle 混沌映射

Circle混沌映射有着随机性，均匀性和有序性等特点。Circle映射可表示为：

其中，a，b为控制参数，常用的取值为0.5和0.2，mod为求余函数。混沌轨道状态值范围为（0，1）。

3. Gauss/mouse 混沌映射

Gauss/mouse混沌映射是常用的混沌映射之一，其表达式为：

混沌轨道状态值范围为（0，1）。

4. Iterative 混沌映射

lterative 混沌映射的数学表达式为:

a为控制参数，在（0，1）中取值，一般为0.7。混沌轨道状态值范围为（-1，1）。

5. Logistic 混沌映射

Logistic混沌映射原理简单，具有较强的随机性和遍历性，是常用的混沌映射之一。混沌映射表达式为

其中，a为控制参数，在（0，4]中取值，a越大混沌性越高，a=4时处于完全混沌状态。混沌轨道状态值范围为（0，1）。

6. Piecewise混沌映射

Piecewise混沌映射具有很好的统计性能，是一个分段映射函数。混沌映射公式为：

其中，P在 [0,0.5]内取值，为一个分段控制因子，用来划分该分段函数的4部分函数。一般d=0.3。混沌轨道状态值范围为（0，1）。

7. Sine 混沌映射

Sine混沌映射的表达式为：

其中a为控制参数，一般为4。混沌轨道状态值范围为（0，1）。

8. Singer 混沌映射

Singer映射是混沌映射的典型代表，它的数学形式很简单。其表达式如下：

其中a为控制参数。混沌轨道状态值范围为（0，1）。

9. Sinusoidal 混沌映射

Sinusoidal混沌映射的数学表达式为：

其中a为控制参数，通常为2.3。混沌轨道状态值范围为（0，1）。

10. Tent 混沌映射

Tent映射又称为帐篷映射，其数学表达式为：

当a=0.5的时候，系统呈现短周期状态。当系统初值与a相同，系统将演化成周期系统。因此，使用时需注意以上两种特殊情况。混沌轨道状态值范围为（0，1）。

11. Fuch混沌映射

Fuch混沌映射使得优化结果不依赖于初始值，其表达式为：

混沌轨道状态值范围为（-1，1）。

12. SPM混沌映射

SPM 映射函数定义：

其中，r为0~1之间的随机数。当η∈(0,1)且μ∈(0,1)时，该函数处于混沌状态。实验表明当η=0.4且μ=0.3时，SPM映射产生的序列具有更好的遍历性和随机性。其混沌轨道状态值范围为（0，1）。

13. ICMIC混沌映射

ICMIC映射是一种映射折叠次数无线的混沌模型，相较于Logistic 映射和Tent映射,该映射具有遍历均匀和收敛较快等优点。ICMIC映射的数学表达式如下:

其中，a为控制参数，取值在（0，+∞）。其混沌轨道状态值范围为（-1，1）。

14. Tent-Logistic-Cosine混沌映射

组合运算可以有效地对两个种子映射的混沌动力学进行集合，余弦变换表现出非常复杂的非线性。因此，Tent-Logistic-Cosine产生的新的混沌映射具有复杂的行为：

其混沌轨道状态值范围为（0，1）。

15. Sine-Tent-Cosine混沌映射

Sine-Tent-Cosine混沌映射同样是组合混沌映射，表达式为：

其混沌轨道状态值范围为（0，1）。

16. Logistic-Sine-Cosine混沌映射

Logistic-Sine-Cosine混沌映射同样是组合混沌映射，表达式为：

其混沌轨道状态值范围为（0，1）。

17. Henon混沌映射

Henon混沌映射在2维空间产生，是一种典型的离散混沌映射，其动力学公式如下：

其中，a和b 参数决定Henon映射的状态，较1维混沌映射更复杂。研究结果表明：当a=1.4，b=0.3时，函数进入混沌状态，生成的混沌序列具有很强的随机性。其混沌轨道状态值范围为（-1.5，1.5）。

18. Cubic混沌映射

相比 Logistic混沌映射，Cubic混沌映射具较好的混沌遍历性，有寻优速度快﹑精度高的特点。表达式如下：

取a=2.595的混沌参数，Cubic混沌映射在(0.1)之间具有较好的遍历性。

19. Logistic-Tent映射

将经典一维Logistic系统、Tent混沌系统进行集成生成的Logistic-Tent复合混沌系统。该混沌系统融合了Logistic复杂的混沌动力学特性和Tent混沌系统更快的迭代速度、更多的自相关性和适用于大量序列的特点。它的数学公式定义如下：

其混沌轨道状态值范围为（0，1）。

20. Bernoulli 混沌映射

Bernoulli映射表达式为：

其中，a为控制参数。其混沌轨道状态值范围为（0，1）。

21. Kent映射

Kent映射是另一个具有代表性且形式简单的离散混沌系统，从数学上讲，Kent映射与Logistic 映射是同构的，因此Kent映射也可用于随机优化算法中生成随机新解的方法，而Kent映射具有比 Logistic映射更好的均匀遍历性。Kent映射系统方程可表为如下形式：

控制参数a∈（0，1）。混沌轨道状态值范围为（0，1）。

结果展示：

首先，对上述21种混沌映射方法，进行分布上的遍历。可以清楚看到他们不同的特征。

 

其次，将他们运用到种群初始化中。以2024年的最新算法2024年优化算法-牛顿-拉夫逊优化算法Newton-Raphson-based optimizer（附Matlab代码）为例。在cec2005上对比21种混沌改进策略。

Matlab代码获取

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用于改进所有优化算法：21种混沌映射方法-混沌初始化（附matlab代码）