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前言

2022年电赛F题-信号调制度测量装置说明中提到带通采样定律。

低通采样定理在《信号与系统》教材中进行了详细的讨论，但未对带通信号的采样定理进行描述，国内樊昌信和曹丽娜老师编写的《通信原理》第10章第2小节有所描述，但没有详细的公式推导，容易给初学者产生超过该最低采样频率即不会产生频谱混叠的假象

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一、采样定理？

芯片只能处理数字信号，而现实生活中的很多信号是模拟信号，因此需要将模拟信号转换为数字信号。在转换过程中需要三个步骤：采样、量化、编码。

采样：又称为抽样或取样，把时间连续的信号转换为时间不连续的脉冲。该脉冲信号称为采样信号，采样信号在时间轴上是离散的，但在幅度（y轴）上仍是连续的。把采样信号变为在时间上离散，在幅度上也离散的过程叫作量化。
量化：是一个数值分层过程，即四舍五入过程。
编码：是将量化后的数字信号的幅值，变换成一组组对应的二进制数组。

第一步的采样最为关键，关系到模数转换，再到数模转换。经过几次变换，传输的信号还要保持不变，这样的通信才算完整可靠。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。 其采样频率能捕获连续时间信号的所有信息。

1.低通采样定理（奈奎斯特采样）

低通采样定理（奈奎斯特采样）是要求大于信号的最高上限频率的两倍
提示：此采样定理是万能的，理论上可利用此定理对带通信号采样。

2.带通采样定理

带通信号的采样频率在某时，小于低通采样频率也能无失真恢复原信号

二、频谱混叠

对一个连续时域信号，采样后变为时域离散但幅值连续的采样信号。根据傅里叶理论，连续非周期信号对应的频域曲线是非周期连续的波形，而离散非周期信号对应的频域曲线是周期连续的波形。

所以采样本质就是对原信号进行周期性的频谱搬移。故采样频率没选好，就会使周期性频谱搬移过程中造成频谱混叠，既然频谱和原信号的频谱对不上了，故就无法无失真恢复原信号了，总之，频域波形不出现重叠是无失真传输的重要保障。

设采样角频率是$w_s$，原信号的最高上限角频率是$w_m$

由上图可见采样就是以周期$T_s$进行频谱搬移，显然，$w_s⩾2w_m$ 就不会造成频率混叠，这就是奈奎斯特采样。物理上解释，一个频带受限信号波形不可能短时间产生独立的，实质的变化，最高变化速度受最高频率分量的限制，因而为了保留这一频率分量的信息，故一周期内至少采样两次。

三、带通采样定理

奈奎斯特采样定理讨论的是频谱分布在( 0,$f_H$)上的基带信号的采样问题。但对于接收机，接收信号大多为调制的射频信号，射频信号的频率上限远高于基带信号的频率上限，且仅分布在有限的($f_L$,$f_H$)范围内。

上图为带通信号的频谱图（一般都是已调信号）

对带通信号采用低通抽样定理抽样，也不会造成频谱混叠，但会发现0~$f_L$区间频谱没有使用，且一般$f_H$很大，所以采样率很高，大大降低了信道的利用率

现实生活中信号带宽$B$并不一定很宽可能为几M，但$f_H$可能为几十个G，AD也难以实现如此高的采样率，这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求，从而催生了带通采样的应用。

带通采样定理：设带通信号频带仅在($f_L$~$f_H$)之间，信号带宽即为$B=f_H-f_L$，则最小采样速率$f_s=2B(1+\frac{k}{n})$，其中$k$为$\frac{f_H}{B}$的小数部分，$n$为$\frac{f_H}{B}$的整数部分

现推导带通采样定理：
由于带限信号频谱具有轴对称性，故只需分析一边。如上图，为避免频谱混叠，
$\{\begin{array}{l}-f_L+m{f}_s\le f_L\\ f_H\le -f_H+(m+1)f_s\end{array}$

不难求得采样频率$f_s$的取值范围
$\frac{2f_H}{m+1}\le f_s\le \frac{2f_L}{m}$ ，($m$为非负整数，其含义是m次频移)

显然$f_s$存在的条件是$\frac{2f_H}{m+1}\le \frac{2f_L}{m}$ ，化简可知$m\le \lfloor \frac{f_L}{f_H-f_L}\rfloor$ ，（$\lfloor \cdot \rfloor$<->向下取整）

$m$的意义：在[$0$ ~$f_L$]范围内容纳的频谱数
解释：
设$m_{max}$ 在[$0$ ~$f_L$]范围内最多容纳的频谱数，$m_{max}$必须为整数
则 $m_{max}\times (f_H-f_L)\le f_L$，即$m_{max}\times B\le f_L$

现推导最小采样频率：
最小采样频率即为$\frac{2f_H}{m+1}$ ，且$m=m_{max}=[\frac{f_L}{f_H-f_L}]$

①当$f_H$不是带宽B的整数倍时，可用$f_H=n\times B+k\times B$表达，其中$n$为$\frac{f_H}{B}$的整数部分，$k$为$\frac{f_H}{B}$的小数部分

$m_{max}+1=\frac{f_H}{f_H-f_L}=\frac{f_H}{B}=n$

故$\frac{2f_H}{m_{max}+1}=\frac{2f_H}{n}=2B(1+\frac{k}{n})$

②当$f_H$是带宽B的整数倍时，可用$f_H=n\times B表达，其中n$为$\frac{f_H}{B}$的整数部分
同理可知，$\frac{2f_H}{m_{max}+1}=\frac{2f_H}{n}=2B$

四、带通采样的限制条件

只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠。

五、误区

本人建议在利用带通采样的时候，用不等式$\frac{2f_H}{m+1}\le f_s\le \frac{2f_L}{m}$确定采样频率。

千万不要也不能理解为采样频率超过最小值$\frac{2f_H}{m+1}$后，就不会产生频谱混叠。
带通采样定理的采样频率的取值是不连续的分段区间，故应注意与低通信号的最小采样频率进行区别理解。

六、总结

带通采样的核心就是频谱搬移，搬移到低频带上进行采样。故带通采样大大降低了所需的采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。另外，当对于一个频率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太低，对提高采样量化的信噪比是不利的。所以，在可能的情况下，带通采样频率应该尽可能选的高一些，使瞬时采样带宽尽可能宽。

七、参考资料

Cheeky_man.低通采样定理与带通采样定理
数字化的重要理论：带通采样定理
[1]王兵锐,张新刚,马晓普.通信教学研究中带通采样的统一推导与验证[J].现代信息科技,2019,3(24):55-57.DOI:10.19850/j.cnki.2096-4706.2019.24.017.
[2]黄喜军,陈辉金.带通信号采样定理的教学浅析[J].电气电子教学学报,2011,33(04):104-105.